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高速数控系统的设计.第一部分：有限跃度的轨迹生成和五次样条参数插值曲线 加拿大. Yusuf Altintas摘要： 参考轨迹生成在计算机控制的机床中起到重要的作用。生成的轨迹不仅准确地描述了所需的刀具半径，而且有平滑的运动学特性以保证高速走刀的准确性，还可以避免机械结构和伺服控制系统自然模型的振动。样条轨迹生成技术被广泛地运用在航空零件、模具加工；和重复的直线和圆的段运动相比，这种方法提供了一种更加持续的进给运动，从而缩短了加工时间提高了表面粗糙度。这篇文章主要介绍了一种变性质五次样条轨迹生成算法，这种方法具有连续的位置、速度以及加速度特性。样条插值实现了一种新奇的进给方式，它消除了由于参数化错误而产生的进给速率波动。平滑的加速和减速是通过对相邻时间的进给速率的误差施加限制而获得的，导致以梯形（不规则四边形）的加速特征沿着工具路径。最后，这种带有不同时间段插值的参考轨迹生成能够让原始运动剖面得到保存。这种轨迹生成方法已经在一台三轴联动铣床上得到测试，用来加工一种类似于鸟翼零件的表面，并用内部开环控制系统控制。1.介绍 现在数控机床在工作时要求刀具能在进给速率达到40米/分钟，并且加速度达到2g的情况下正常运转。这种要求是为了提供快速进给运动，来满足高速加工过程。在这样的高速度下，参考路径中的一些小的不连续点便会导致参考轨迹中不良的高频谐波，这种谐波函数最终将以机械结构和伺服控制系统的振动而展示出来。谐波函数中的高频部分也会让制动器处于饱和状态，更会使机床轴跟踪精度降低，还会导致仿形加工精度降低。另一方面，仅仅使用直线与圆插入技术在加工复杂外形曲面有很多限制，很难叨叨预期的加工精度和生产效率。为了解决这些问题，近些年来通过不断的努力和探索，我们开发了一种新的轨迹生成算法，这种方法能够为高速加工系统提供平滑的进给运动。 巴特勒等人建议修改给定刀具路径的进给分布，从而避免制动器饱和的正负反馈的控制方案。他们也估计了这种方案要比由位置反馈分辨率所得到的棱角具有很小的圆弧半径，让进给修正算法具有预估的能力，从而考虑到刀具在进给(加速和减速)过程中的进给情况。Werk和Ye已经使用了一种低通过滤器，它可以忽略参考轨迹线中的高频分量，从而让刀具更加容易跟踪。这种过滤器曾经在一个零相位误差跟踪器上使用过，它是基于一种以稳定的方式来描述轴线控制回路的反向动态特性。通过跟踪这种策略他们已经准确地报道了的每一个细节。在使用所谓的零相位误差跟踪器之前，一种类似的方法也被Tung和Tomizuka所采纳，这种方法使用了这一种附加的具有零相位特性的低通滤波器。 Pritschow介绍了这种有限加加速度轨迹具有梯形和正弦平方的加速特性，而且具有更好的持续性。另一方面，王和杨也通过三次方和五次方样条曲线实现了轨迹生成。相对于弦长参数化过程，这种几乎接近弧长参数化的轨迹生成使进给过程中振动变的更小。这部分是通过王和赖特的工作得到的。他们的工作也包括一项额外的五次样条曲线的加加速度连续性条件的研究、他们建议在高曲率轨迹处使用更多的点来填充，从而减小进给过程中由于弧长参数化错误二引起的振动。 Makino和Ohde使用了一种通用的凸轮曲线来生成加加速度持续性的特性。Tomita等人也采用了三角函数来达到同样的目的。Simon和Isik建议采用三角样条曲线来制造机器人操纵器，因为它们需要很高的命令持续性，使计算机参数从边界条件得到释放，并在隔开的连结处产生更少的震动。 这项工作为产生连续的五次样条曲线路径构建了一个草图方案，使用了重复插入技术以此来保证在每一步进给过程中具有连续的位置增量。这样的话，由此产生的进给时的振动便可以避免。通过改变在固定隔开的参考位置间的插入时间（Ti），平滑的加速过程就将获得。已经生成的参考轨迹将会在伺服回路关闭期间（Ts）被重新构建，轨迹生成步骤：（a）空间坐标下生成的路径，（b）对存在的路径进行仿型进给切削，（c）在控制回路频繁时重新取样已生成轨迹。当维持了最初的加速和进给特性时，使用第五次命令重新取样技术。 这篇文章余下的部分由如下这样组织的：使用五次样条曲线生成刀具路径在第二部分讲解。第三部分主要讲的是有限跃度进给生成，第四部分主要讲的是重新取样命令，第五部分是说模拟何仿真实验结果，最后一部分是总结和参考文献。2.五次样条曲线工具路径生成 在数控机床的刀具中，刀具的运动是由一系列细小的参考点所组成的预期路径轨迹所实现的，并由伺服控制系统控制。产生这些细小序列的任务被称作插入。对于大多数普通机床来说，两种最基本的插入技术是线性和弧形内插法。在线性内插法中，主要是让刀具沿着直线路线从一个点到达另一个点，正如上面Fig第二点所展示的那样。在弧形内插法中，主要是让刀具沿着已被确定的圆弧从一点到达令一点。两种技术的图表中，Rs表示刀具运动的起始点，Re表示结束点，R1. RN为中间点，s表示恒定的路径增量。在弧形插补技术中，Rc表示圆弧中心，r表示圆弧半径，s和e表示起始点和结束点各自的角度，表示在相应的路径增加量s下角度增加量。其实还有许多其他的插补技术，它们都使用了不同的参数形式来表述，比如三次和五次方样条曲线。 在变性质的五次样条曲线路径生成法中，目的是连接一系列N个参考节点如下图中P1到Pn所显示的那样。有N-1个样条曲线差值S1到Sn-1。这些符合插值的样条曲线一种二阶微分的方式连续性保存在整体符合曲线中。这项工作是在估计完关于一条已被挑选出来的样条曲线参数在某些节点处的派生物后做完的，比如在两个连续的节点处的弦长。然后，一条五次样条曲线在这些连续的节点处恰当的配合进去，诸如此类的位置。最后，在沿着样条曲线连续插入的情况下，工具路径便会生成，而生成的路径在量级上常常是保持一致的。参数化插入技术中，普遍存在这样一个问题，即在用弧长表示工具路径的时候，怎么样使工具路径参数化。 相反的，其他靠近的近似值有更好的解决方案，而这种更加简单的解决方案是以进给过程中产生的震动为代价换来的，震动的出现是源于实际弧长和正在被用的的参数之间存在误差。 在这项工作中，引进了一种新的五次样条曲线插入技术，这项技术使得在每一步插入过程中都有一个重新调整的环节，从而避免的进给过程中产生的振动。在接下来的几步中，基本的五次样条曲线插入技术方案将一一呈现出来。为了简化过程，仅列出平面公式，而空间三个维度的公式也很容易由此推出。2.1预计生成的其他节点对比一下Fig.3(b),在结点Pi处的一次和二次生成点符合下面一个三次多项式， （1）通过Pi-1，Pi+1，Pi和Pi+2,。参数u相当于这些结点之间的弦长。在二维平面内，Oi，ai，bi,ci和di可以写成这样的形式，（2）注意到两个连续点Pi-1和Pi之间的弦长可以表达成这样， （3）再定义li1,i和li1,i+1，他们代表这些连续点弦长的总和， （4）系数ai,bi,ci和di可由下公式计算， （5）其中，ay，by和cy是通过替换得到的。一旦多项式系数算出来，一次和二次导数就会被计算出来， （6）由于缺少外的相邻结点，在点P1，PN-1和PN处的切线和法线是通过使用符合有效的点的三次多项式计算出来，例如t1和n=是通过Q2（u）|u=0；（7）2.2变性质五次样条曲线拟合一旦在结点处的一次和二次导数确定，变性质五次样条曲线就用下面的公式表示， （8）这公式适合连续的结点，为了满足二阶命令连续性的边界条件。对于两条轴线的情形，Si，Ai，Bi.Fi公式如下 （9）对于五次样条曲线Si（u），边界条件为， （10）ti,ni,ti+1和ni+1可以从公式（6）计算出来，Ai，Bi.Fi系数可以从边界条件公式（10）据算出来。X轴的解决方案在下面列出。Y轴的解决方案就是把公式中的x替换条即可。 （11）一旦所有部分的系数都确定了，复合的样条曲线的总长度可以计算出来，将每一个部分的插入的弧长计算一下，而后求和， （12）式子中L是复合样条曲线总共长度，si是第i部分的长度。刀具一共所走的过的路径的数值是必不可少的，它需要用来规划进给过程路径的生成，这些内容将在第三大部分介绍。样条曲线弧长si是通过把每一部分样条曲线的弦长分成Mi个增量估计出来的，每一个弦长增量所对应的点在样条曲线上也确定了。这些连续的样条曲线点的空间增量接着求和从而获得弦长弧长si。合理的弦长增量应该这样计算， （13）式子中F表示预设给速度，Ts表示位置控制回路采样周期，li表示第i部分样条曲线弦长长度，这些数据都可以在公式（3）中确定。因此弦长增量变成 （14）考虑到j=1,2，.，Mi为弦长增量计数器，对应点可以表示成， （15）式子中Ai，Bi，.，Fi均可由公式（9）和（11）确定。相邻两个连续点的弧长公式可以表达成， （16）因此，总的运动轨迹L可以表达为， （17）2.3插入过程没有进给振动 变性质五次样条曲线是用在两个连续的参考结点的弧长来参数化表示的、如果插入的是恒定的参数变量，考虑到弧长与弦长之间的误差关系，进给过程势必会产生振动，这样反馈给样条曲线的参数化表示，便会导致不理想的加速过程和急剧的振动。理论上说，为了避免这种情况的发生，拟合曲线必须用弧长来参数化。这种方案的是以一种金丝估计的方式来实施的。尽管这种方案会增加最终合成的进给速度性质的的准确性，但是在高曲率的曲线上仍然有很大的震动。 在这项工作中，弦长在样条曲线参数化时被保留。但是，参数化增量会被递归校正以实现在每一次插入中实现恒定的位移量级，从而避免了进给过程中产生的振动。路径增量s确定的方式如下：当Ti达到他的最小值时，正是控制回路采样周期Ts，此时进给速度最大值fmax达到了。因此，假定总共的走刀轨迹长度L将被最大化的包含，步长就会被确定，除了在fmax点。 （18）结果路径增量为 （19） 它假定了命令动作起源于最初的进给速度fs,然后以一定的方式加速减速至所欲估计的速度F，最后达到一个速度fe而停止。为了让连续的运动部分能够平滑的彼此连接，我们允许非零的起始和最终速度。在估计路径增量的大小时，最大进给速度应被考虑进去， （20） 对于沿着样条曲线Si产生的起始位置指令，让Rij（Xij，Yj）成为最后被计算的参考点，Ri，j+1未下一个被计算的点。从而所得到的路径增量可以这样表达， （21）式子中的坐标增量x和y为， （22）因为先前的位置（Xij，Yij）和样条曲线相关系数Ai，Bi，.，Fi已经知道，现在的问题就是找到一个新的弦长参数u，新的弦长参数可以通过解出下面这个十次方多项式， （23）式子中的系数表达为 （24） 在上面的这些式子中，和是第i部分五次样条曲线系数。（23）这个式子的结果可由牛顿的迭代法计算出来。尽管g(u)方程次数很高，但结果收敛于一个三次迭代次数，使得这个方法在实际实施过程中可行度很高。另外，式子（23）中的系数0，.4仅仅在变性质五次样条曲线开始的过程中需要被计算出来。通过这种方法，由于近似参数估计而产生进给过程中产生的振动将会避免。步长恒定性即使在相对高的曲率处也能得到保证。这样的话就能让有限跃度进给过程的特性得到实现。3. 有限跃度进给过程轮郭线这个部分主要介绍了在沿着变性质五次样条曲线实现平滑的进给动作的过程和步骤， 在轨迹生成中使用这种方法，仅仅通过改变插入的周期就能够很容易地改变进给速度的大小。 生成的进给速度的运动学图像可以参考图4,。对于沿着工具路径的移动过程中，加速过程的图像具有不规则（梯形）的变化性质。加速度的图像是线性变化的，进给速度是抛物线，位移的图像是三界函数。加速度值是恒定的，有限跃度在第j2和j6部分是零，而在这两部分内，速度是线性分布的，位移是成抛物线分布的。在j4部分内，跃度和加速度的值是零，进给速度的值是恒定的，位移是线性变化的。在接下来的章节里有限跃度进给速度的公式和实际操作过程将会一一介绍。3.1公式化参考图4，如果已知起始的位移和在ti处的进给速度、加速度，那么跃度与时间的关系图像以及公式j（t）便可知道， （25）也可以写成这样， (26)式子中t表示绝对时间，t1，t2，.，t7表示时间间隔的边界，J1，J3，J5,，J7,表示在第一、三、五、七各部分相应跃度的大小，量级相同。将式子（26）中的每一项对时间求积分，用A和D分别表示第二和第六部分相应的加速度和减速度大小，加速度的公式也可以写成下面这样， （27）柿子中的k代表相对时间参数，它起始于第k部分，如图4.对式子（27）时间几分，那么进给速度公式便可得到， （28）式子中的fs表示起始进给速度，F是预期想