北师大版选修21 2.5.12.5.2 直线间的夹角　平面间的夹角 作业.docx

5夹角的计算5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角1.在正方体abcd-a1b1c1d1中与ad1成60角的面对角线的条数是()a.4b.6c.8d.10解析:如图所示,在正方体中,ad1c是正三角形,所以面对角线ac,cd1与ad1成60的角,由异面直线所成角的定义知,面对角线a1c1,a1b与ad1也成60的角;同理,ad1b1也是正三角形,所以ab1,dc1,b1d1,bd与ad1所成的角也是60,即共有8条.答案:c2.过正方形abcd的顶点a作线段pa平面abc,且pa=ab,则平面abc与平面pcd所成锐二面角的度数为()a.75b.60c.45d.30解析:以a为坐标原点,ad,ab,ap分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设ab=1,平面cdp的一个法向量为n1=(x,y,1),则a(0,0,0),b(0,1,0),c(1,1,0),d(1,0,0),p(0,0,1),平面abc的一个法向量n2=(0,0,1),则n1cd=0,n1pd=0.pd=(1,0,-1),cd=(0,-1,0),-y=0,x-1=0,即n1=(1,0,1).于是cos=n1n2|n1|n2|=0+0+121=22.平面abc与平面pcd所成锐二面角的度数为45.答案:c3.直三棱柱abc-a1b1c1中,bca=90,m,n分别是a1b1,a1c1的中点,bc=ca=cc1,则bm与an所成角的余弦值为()a.110b.25c.3010d.22解析:如图,以点c1为坐标原点,c1b1,c1a1,c1c所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,不妨设bc=ca=cc1=1,可知点a(0,1,1),n0,12,0,b(1,0,1),m12,12,0.an=0,-12,-1,bm=-12,12,-1.cos=anbm|an|bm|=3010.根据an与bm的夹角及an与bm所成角的关系可知,bm与an所成角的余弦值为3010.答案:c4.在正方体abcd-a1b1c1d1中,二面角a-bd1-b1的大小为()a.90b.60c.120d.45解析:如图所示,以c为原点建立空间直角坐标系c-xyz,设正方体的边长为a,则a(a,a,0),b(a,0,0),d1(0,a,a),b1(a,0,a),ba=(0,a,0),bd1=(-a,a,a),bb1=(0,0,a).设平面abd1的法向量为n=(x,y,z),则nba=(x,y,z)(0,a,0)=ay=0,nbd1=(x,y,z)(-a,a,a)=-ax+ay+az=0.a0,y=0,x=z.令x=z=1,则n=(1,0,1),同理,平面b1bd1的法向量m=(-1,-1,0).cos=nm|n|m|=-12,而二面角a-bd1-b1为钝角,故为120.答案:c5.将正方形abcd沿对角线ac折起,当以a,b,c,d四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线ad与bc所成的角为()a.6b.4c.3d.2解析:不妨以abc为底面,则由题意当以a,b,c,d为顶点的三棱锥体积最大,即点d到底面abc的距离最大时,平面adc平面abc,取ac的中点o,连接bo,do,则易知do,bo,co两两互相垂直,所以分别以od,ob,oc所在直线为z,x,y轴建立空间直角坐标系,令bo=do=co=1,则有o(0,0,0),a(0,-1,0),d(0,0,1),b(1,0,0),c(0,1,0),ad=(0,1,1),bc=(-1,1,0),所以cos=adbc|ad|bc|=122=12,所以异面直线ad与bc所成的角为3.答案:c6.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为.解析:cos=mn|m|n|=112=22,即=45,其补角为135,所以两平面所成的二面角为45或135.答案:45或1357.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,o是上底面a1b1c1d1的中心,则oc与bc1所成角的余弦值为.解析:如图所示,以d为坐标原点,直线da,dc,dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则o12,12,1,c(0,1,0),b(1,1,0),c1(0,1,1),所以oc=-12,12,-1,bc1=(-1,0,1),所以cos=12+0-1322=-36.故oc与bc1所成角的余弦值为36.答案:368.设动点p在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1的对角线bd1上,记d1pd1b=.则当apc为钝角时,的取值范围为.解析:如图所示,以da,dc,dd1为单位正交基底,建立空间直角坐标系d-xyz,则有a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),d1(0,0,1).由d1b=(1,1,-1),得d1p=d1b=(,-),所以pa=pd1+d1a=(-,-,)+(1,0,-1)=(1-,-,-1),pc=pd1+d1c=(-,-,)+(0,1,-1)=(-,1-,-1).显然apc不是平角,所以apc为钝角等价于cos apc=cos=papc|pa|pc|0,则等价于papc0,即(1-)(-)+(-)(1-)+(-1)2=(-1)(3-1)0,得131.因此,的取值范围是13,1.答案:13,19.已知pa平面abc,acbc,pa=ac=1,bc=2,求平面apb与平面pbc所成角的余弦值.解如图所示,以a为坐标原点,过点a且垂直平面acp的直线为x轴,直线ac,ap分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系,则a(0,0,0),b(2,1,0),c(0,1,0),p(0,0,1),所以ap=(0,0,1),ab=(2,1,0),cb=(2,0,0),cp=(0,-1,1).设平面pab的一个法向量为m=(x,y,z),则map=0,mab=0,(x,y,z)(0,0,1)=0,(x,y,z)(2,1,0)=0,y=-2x,z=0.令x=1,则m=(1,-2,0).设平面pbc的一个法向量为n=(x,y,z),则ncb=0,ncp=0,(x,y,z)(2,0,0)=0,(x,y,z)(0,-1,1)=0,x=0,y=z.令y=-1,则n=(0,-1,-1),cos=mn|m|n|=33.即平面apb与平面pbc所成角的余弦值为33.10.在四棱锥p-abcd中,pd平面abcd,pa与平面abcd所成的角为60,在四边形abcd中,adc=dab=90,ab=4,cd=1,ad=2.(1)建立适当的坐标系,并写出点b,p的坐标;(2)求异面直线pa与bc所成角的余弦值.解(1)如图所示,建立空间直角坐标系.adc=dab=90,ab=4,cd=1,ad=2,a(2,0,0),c(0,1,0),b(2,4,0).由pd平面abcd,得pad为pa与平面abcd所成的角,pad=60.在rtpad中,由ad=2,pad=60,得pd=23.p(0,0,23).(2)由(1)知pa=(2,0,-23),bc=(-2,-3,0),cos=2(-2)+0(-3)+(-23)0413=-1313.异面直线pa与bc所成角的余弦值为1313.11.如图所示,在四棱锥a-bcde中,abc是正三角形,四边形bcde是矩形,且平面abc平面bcde,ab=2,ad=4.(1)若点g是ae的中点,求证:ac平面bdg;(2)试问点f在线段ab上什么位置时,二面角b-ce-f的余弦值为31313?解(1)设bd,ce交于点o,连接og,易知og为ace的中位线,故ogac,又ac平面bdg,og平面bdg,得ac平面bdg.(2)如图所示,取bc的中点h,建立空间直角坐标系h-xyz,在rtacd中,斜边ad=4,ac=2,得cd=23.所以a(0,0,3),b(1,0,0),c(-1,0,0),e(1,23,0).设bf=ba(01),得f(1-,0,3).设平面cef的一个法向量为n=(x,y,z),由nce=0,ncf=0,即n(2,23,0)=0,n(2-,0,3)=02x+23y=0,(2-)x+3z=0,取x=3,得n=3,-1,1-2.而平面bce的一个法向量n0=(0,0,1),所以由题得31313=|nn0|n|n0|,即313=2-14+1-22,解得=-1(舍去)或=12.所以当点f为线段ab的中点时,二面角b-ce-f的余弦值为31313.12.如图所示,在四棱锥p-abcd中,已知侧面pad为等腰直角三角形,底面abcd为直角梯形,abcd,abc=apd=90,侧面pad底面abcd,且ab=4,ap=pd=bc=cd=2.(1)求异面直线pa与bd所成角的大小;(2)设点e在侧棱pb上,若平面ade与平面acd的夹角为4,求be的长.解取ad的中点o,ab的中点n,连接on,op,则on,oa,op两两垂直.如图所示,以o为坐标原点,直线oa,op分别为x轴、z轴,过点o且与平面aop垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.根据已知条件得a(2,0,0),b(-2,22,0),d(-2,0,0),p(0,0,2).(1)因为pa=(2,0,-2),bd=(0,-22,0),所以pabd=0,故异面直线pa与bd所成的角为90.(2)设存在满足条件的点e,并设pe=pb,其中0,1. 又pb=(-2,22,-2),则ae=ap+pe=(-2,0,2)+(-2,22,-2)=(-2(1+),22,2(1-).平面adc的一个法向量