北师大版选修21 3.2.2.2 抛物线的简单性质习题课 作业.docx

第2课时抛物线的简单性质习题课1.过点p(2,-4)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有()a.1条b.2条c.3条d.1条、2条或3条解析:点p在抛物线上,故有两条直线:一条切线,一条平行于x轴的交线.答案:b2.抛物线x2=14y上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标为()a.(0,0)b.(1,4)c.12,1d.(5,1)解析:(方法一)设抛物线上一点p(x0,4x02),它到直线的距离d=|4x0-4x02-5|17=4x02-4x0+517,而4x02-4x0+5=(2x0-1)2+44,当且仅当x0=12时取等号,该点坐标为12,1.(方法二)设与y=4x-5平行的直线方程为y=4x+b,代入x2=14y,得4x2-4x-b=0.(*)由=0,得16+16b=0,即b=-1.方程(*)为4x2-4x+1=0,x=12.y=414=1,所求点坐标为12,1.答案:c3.已知抛物线c:y2=4x的焦点为f,直线y=2x-4与c交于a,b两点,则cosafb=()a.45b.35c.-35d.-45解析:由y=2x-4,y2=4x,得x=1,y=-2或x=4,y=4.令b(1,-2),a(4,4),又f(1,0),由两点间距离公式得|bf|=2,|af|=5,|ab|=35.cosafb=|bf|2+|af|2-|ab|22|bf|af|=4+25-45225=-45.答案:d4.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a,b两点,若线段ab的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()a.x=1b.x=-1c.x=2d.x=-2解析:(方法一)设a(x1,y1),b(x2,y2),由题意知直线ab的方程为y=x-p2与y2=2px联立得y2-2py-p2=0,y1+y2=2p,由题意知y1+y2=4,p=2.抛物线的方程为y2=4x,其准线为x=-1,故选b.(方法二)设a(x1,y1),b(x2,y2),由题意得y1+y2=4,y12=2px1,y22=2px2,两式相减得:kab=y1-y2x1-x2=2py1+y2=p2=1,p=2.抛物线的方程为y2=4x,其准线为x=-1,故选b.答案:b5.抛物线y=ax2(a0)与直线y=kx+b两个交点的横坐标分别为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,则()a.x3=x1+x2b.x3=1x1+1x2c.x1x2=x1x3+x2x3d.x1x3=x2x3+x1x2答案:c6.已知直线y=k(x-m)与抛物线y2=2px(p0)交于a,b两点,且oaob,odab于点d.若动点d的坐标满足方程x2+y2-4x=0,则m=()a.1b.2c.3d.4解析:设点d(a,b),则由odab于d,得ba=-1k,b=k(a-m),则b=-km1+k2,a=-bk.又动点d的坐标满足方程x2+y2-4x=0,即a2+b2-4a=0.将a=-bk代入上式,得b2k2+b2+4bk=0,即bk2+b+4k=0,-k3m1+k2-km1+k2+4k=0.又由k0,知(1+k2)(4-m)=0,故m=4.答案:d7.已知点p是抛物线y2=4x上一点,设p到此抛物线准线的距离为d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2, 则d1+d2的最小值为.解析:d1=|pf|,d1+d2的最小值就是焦点f到直线x+2y-12=0的距离,(d1+d2)min=|1-12|1+4=115=1155.答案:11558.圆心在抛物线x2=2y上,与直线2x+2y+3=0相切的圆中,面积最小的圆的方程为.解析:圆心在抛物线x2=2y上,设圆心为x,12x2,直线2x+2y+3=0与圆相切,则圆心到直线2x+2y+3=0的距离等于圆的半径,即r=|2x+x2+3|22+22=|x2+2x+3|22=|(x+1)2+2|22222=22,当x=-1时,r最小,即圆的面积最小,此时圆的圆心坐标为-1,12,故圆的方程为(x+1)2+y-122=12.答案:(x+1)2+y-122=129.顶点为坐标原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=-2x-1所得的弦长|ab|=53,则抛物线的方程为.解析:设抛物线的方程为y2=2mx(m0),点a的坐标为(x1,y1),点b的坐标为(x2,y2),y2=2mx,y=-2x-14x2+(4-2m)x+1=0x1+x2=m-22,x1x2=14,53=5m-222-414m=10或-6,y2=20x或y2=-12x.答案:y2=20x或y2=-12x10.已知点p(2,0),点q在曲线c:y2=2x上.(1)若点q在第一象限内,且|pq|=2,求点q的坐标;(2)求|pq|的最小值.解(1)设q(x0,y0)(x00,y00),由题意得|pq|=(x0-2)2+y02=2,(x0-2)2+y02=4.又点q(x0,y0)在曲线c上,y02=2x0.由,得x0=y0=2.点q的坐标为(2,2).(2)设q(x0,y0),点q在曲线c上,y02=2x0,|pq|=(x0-2)2+y02=(x0-2)2+2x0=x02-2x0+4=(x0-1)2+3.2x0=y020,x00.当x0=1时,|pq|min=3.11.已知抛物线c:y2=4x的焦点为f,过点k(-1,0)的直线l与c相交于a,b两点,点a关于x轴的对称点为d.(1)证明:点f在直线bd上;(2)设fafb=89,求直线l的方程.(1)证明设直线l与c的交点为a(x1,y1),b(x2,y2),则点d的坐标为(x1,-y1),由题意设l的方程为x=my-1(m0).将x=my-1代入y2=4x并整理,得y2-4my+4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=4.直线bd的方程为y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2),即y-y2=4y2-y1x-y224.令y=0,得x=y1y24=1.所以点f(1,0)在直线bd上.(2)解由,知x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.因为fa=(x1-1,y1),fb=(x2-1,y2),所以fafb=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故8-4m2=89,解得m=43.所以l的方程为3x+4y+3=0或3x-4y+3=0.12.如图,m是抛物线y2=x上的一点,动弦me,mf分别交x轴于a,b两点,且|ma|=|mb|.(1)若m为定点,证明:直线ef的斜率为定值;(2)若m为动点,且emf=90,求emf的重心g的轨迹方程.(1)证明设m(y02,y0),直线me的斜率为k(k0),则直线mf的斜率为-k,直线me的方程为y-y0=k(x-y02).由y-y0=k(x-y02),y2=x消去x,得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得ye=1-ky0k,xe=(1-ky0)2k2.同理可得yf=1+ky0-k,xf=(1+ky0)2k2.kef=ye-yfxe-xf=1-ky0k-1+ky0-k(1-ky0)2k2-(1+ky0)2k2=2k-4ky0k2=-12y0(定值).故直线ef的斜率为定值.(2)解当emf=90时,mab=45,k=1,直线me的方程为y-y0=x-y02.由y-y0=x-y02,y2=x,得e(1-y0)2,1-y0).同理