考研数学线性代数强化资料-逆矩阵与初等矩阵.docx

点这里，看更多数学资料 2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-逆矩阵与初等矩阵知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块四 逆矩阵与初等矩阵 教学规划【教学目标】1、全面复习逆矩阵的基本概念和常用性质、公式2、系统掌握矩阵可逆性的讨论及逆矩阵的计算方法3、系统掌握伴随矩阵的概念、性质和常用公式4、掌握初等矩阵与初等变换的基本关系5、理解初等矩阵与逆矩阵的本质联系【主要内容】1、逆矩阵的概念和性质2、伴随矩阵的概念、性质和常用公式3、矩阵可逆性的讨论4、逆矩阵的计算5、矩阵方程的求解6、初等变换与初等矩阵【重难点】1、伴随矩阵相关的计算与证明2、矩阵可逆性的讨论3、矩阵方程的求解 知识点回顾一逆矩阵1.定义对于一个阶方阵，如果存在一个阶方阵,使得，则称矩阵为可逆矩阵，并称矩阵为矩阵的逆矩阵，记作.2.性质性质一：若可逆，则逆矩阵是唯一的.性质二：若可逆，则均可逆，且.性质三：若为同阶可逆矩阵，则可逆，且.推广：，.性质四：若可逆，且则可逆，且.性质五：若可逆，则.性质六：若均可逆，则均可逆且，.二伴随矩阵1.定义设为阶矩阵的代数余子式，定义为的伴随矩阵.2.性质定理1：设为阶方阵，为它的伴随矩阵，则有.3.可逆的充要条件定理2：设为阶方阵，则可逆的充要条件为.定理3：设为阶方阵，那么当或时，有.三初等矩阵1初等行（列）变换我们对矩阵可以做如下三种初等行（列）变换：a.交换矩阵的两行（列）；b.将一个非零数乘到矩阵的某一行（列）c.将矩阵的某一行（列）的倍加到另一行上.2初等矩阵对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：1）交换单位矩阵的第行和第行得到的初等矩阵记作，该矩阵也可以看做交换单位矩阵的第列和第列得到的.2）将一个非零数乘到单位矩阵的第行得到的初等矩阵记作；该矩阵也可以看做将单位矩阵第列乘以非零数得到的.3）将单位矩阵的第行的倍加到第行上得到的初等矩阵记作；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第列的倍加到第列上得到的.3.矩阵的等价如果矩阵经过有限次初等变换之后可以变成，则称矩阵等价，记作.4.重要定理定理4：对矩阵左乘一个初等矩阵，等于对作相应的初等行变换；对矩阵右乘一个初等矩阵，等于对作相应的初等列变换.定理5：所有初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵均为同类的初等矩阵.具体来说，我们有，.定理6：矩阵可逆的充要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘积，即，其中均为初等矩阵.定理7：矩阵与矩阵等价的当且仅当存在可逆矩阵使得.定理8：设与均是型矩阵，则. 考点精讲一逆矩阵的计算【例1】：计算下列矩阵的逆矩阵（1） （2）【答案】：（1） （2） 小结：对于数字型的矩阵，在求其逆矩阵的时候常用的方法是利用初等行变换和伴随矩阵.（1）利用初等行变换：设为阶可逆矩阵，我们可以通过初等行变换来计算其逆矩阵.对分块矩阵做初等行变换，将矩阵化为，此时的就化为了，也即.需要注意的是只能做行变换.（2）利用伴随矩阵：公式也可以用于计算逆矩阵.【例2】：已知，求.【答案】：【例3】： 设矩阵满足,其中 为单位矩阵，求.【答案】： 【例4】：已知，求.【答案】： 【例5】：设为阶矩阵，求.【答案】： 【例6】：设为3维列向量，满足，为三阶单位矩阵，.（1）证明：，（2）求.【答案】：（2） 【例7】：设、均为阶方阵，满足.证明（1）可逆；（2）.【例8】：已知，求.【答案】： 【例9】：设均为阶可逆矩阵，则 .（A） （B） （C） （D）【答案】：C小结：对于抽象矩阵的来说，要求其逆矩阵一般的方法是利用矩阵可逆的定义及性质.（1）利用定义：设为阶方阵，如果能得到或，则有.这是计算抽象矩阵逆矩阵最常用的方法，一般来说，当题目中给出了相关矩阵的等式时，就可以通过相关运算法则进行变形，从而凑出等式或.（2）利用相关性质：一般来说，我们在利用定义计算逆矩阵时，还会结合逆矩阵的相关性质，考生要熟练掌握相关的公式，灵活运用.需要注意的是，我们没有总结的公式考生不能随便使用，例如，等矩阵的逆矩阵是没有直接的计算公式的.二伴随矩阵【例10】：1）设，则 .2） 设，则 .【答案】：1） ,2） 【例11】：设和分别为阶和阶可逆矩阵，则（A） （B）（C） （D）【答案】：D【例12】：已知，求中所有代数余子式之和.【答案】：0【例13】：已知，求.【答案】：【例14】：设为阶方阵，证明：.【例15】：已知为3阶非零矩阵，证明：.【例16】：已知为3阶非零矩阵，求.【答案】：小结：与伴随矩阵相关的考题是本章考试的难点之一，一般来说，我们在处理伴随矩阵的时候有两个思路：如果已知矩阵可逆，则用公式；如果矩阵不可逆或矩阵是否可逆未知，则使用伴随矩阵的定义或公式.三可逆性的讨论【例17】：证明:奇数阶反对称矩阵不可逆.【例18】：设是阶矩阵，且满足矩阵，证明：.【例19】：设是矩阵，是矩阵，其中，证明：.【例20】：设为阶非奇异矩阵，为维列向量，为常数，记分块矩阵，其中是矩阵的伴随矩阵，为阶单位矩阵（1）计算并化简（2）证明：矩阵可逆的充分必要条件是【答案】：（1）小结：矩阵可逆的充要条件是，结合后续章节的知识，我们还能得到它的其它等价的描述方式，具体的内容在讲义中有详细的介绍.从解题的角度来说，说明一个矩阵不可逆常见的方法有：说明（一般可以通过证明）；反证法；证明矩阵不满秩；证明有非零解；说明是矩阵的特征值等.证明可逆类似.四矩阵方程【例21】：设矩阵，矩阵满足，试求矩阵.【答案】：【例22】：已知求矩阵.【答案】： 【例23】：已知矩阵且矩阵满足其中是3阶单位阵，求.【答案】：【例24】：假设均为阶方阵，为阶单位矩阵，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】：A小结：一般来说，矩阵方程最终可能化为如下三种情况之一：，.其求解方法分别为：，.先计算出相应的逆矩阵，再做矩阵的乘法即可.五初等变换与初等矩阵【例25】：设为3阶矩阵，将的第一行与第二行交换之后得到，再把的第二行加到第三行得到，求满足的可逆阵.【答案】：【例26】：设， ，则 .(A) (B) (C) (D)【答案】：C【例27】：设为阶可逆矩阵，将的第一行加到第二行得到，又设分别为的伴随矩阵，则有（ ）.(A)将的第一列加到第二列得 (B)将第一列的倍加到第二列得 (C)将的第二列加到第一列得 (D)将第二列的倍加到第一列得【答案】：D【例