初三总复习(二次函数性质及图象).ppt

初中数学总复习 第四章函数 二次函数的图象和性质 一 二次函数的概念 1 一般的 如果y ax2 bx c a b c为常数 a 0 那么y叫做x的二次函数 注意 1 任何一个二次函数的解析式 都可以化成y ax2 bx c a b c为常数 a 0 的形式 因此把y ax2 bx c a b c为常数 a 0 叫做二次函数的一般式 2 二次函数的结构特征是 等号右边是关于自变量x的二次多项式 知识点梳理 二 二次函数的性质和图象 1 二次函数的图象是一条关于 对称的曲线 这条曲线叫抛物线 2 抛物线y ax2 bx c的几个主要特征 开口方向 顶点 对称轴 1 抛物线 的顶点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2 求抛物线 3 的对称轴 练习 4 2008 德州 若点A B C 为二次函数 的图象上的三点 则y1 y2 y3的大小关系是 A B C D 三 二次函数图象的画法 五点法 其步骤 1 先根据函数解析式 求出顶点坐标和对称轴 在直角坐标系中描出顶点M 并用虚线画出对称轴 2 求抛物线y ax2 bx c与坐标轴的交点 3 当抛物线与x轴有两个交点时 描出这两个交点A B及抛物线与y轴的交点C 4 再找到点C的对称点D 5 将这五个点按从左到右的顺序连接起来 并向上或向下延伸 就得到二次函数的图象 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时 描出抛物线与y轴的交点C及对称点D 由C M D三点可粗略地画出二次函数的草图 如果需要画出比较精确的图象 可再描出一对对称点A B 然后顺次连接五点 画出二次函数的图象 例2 已知函数 1 求其顶点坐标 对称轴 与y轴的交点 并画出草图 2 由图象指出它的增减性 当x为何值时 y有最大值或最小值 3 已知点A x1 y1 B x2 y2 且x1 x2 试判断y1 y2的大小 四 二次函数图象的几何变换 1 二次函数图象的平移二次函数图象的平移规律 函数图象左平移时自变量加 函数图象右平移时自变量减 函数图象向上平移时函数尾巴加 函数图象向下平移时函数尾巴减 简记为 左加右减 上加下减 最常见的有顶点式函数图象的平移与一般式函数图象的平移两种 对于顶点式函数图象的平移 应抓住两个关键 平移前后函数解析式中的a值不变 找出平移后抛物线的顶点坐标 对于一般式的函数图象的平移 通常有两种方法 将一般式的函数解析式先化成顶点式 然后进行平移 直接将一般式的函数图象按平移规律 函数图象左移时自变量加 函数图象右移时自变量减 函数尾巴加时向上移 函数尾巴减时向下移 进行平移 然后将平移后的解析式化简 思考 将函数y x2 2x 3的图象先向左平移 个单位再向下平移4个单位 求平移后函数图象的解析式 2 二次函数图象的轴对称 思考 已知抛物线L1 y x2 4x与x轴交于A C两点 抛物线L2与L1关于X轴对称 求抛物线L2的解析式 常用的方法有三种 紧紧抓住对称前后顶点的位置及抛物线开口方向的变化求解析式 通过找函数图象上一些特殊点的对称点求对称后函数图象的解析式 通常找的特殊点是抛物线的顶点以及抛物线与x轴的交点等 然后选用二次函数常见的三种形式 一般式 顶点式 交点式求解析式 对照坐标平面上的点关于x轴 y轴 对称规律 可得到抛物线关于x轴 y轴 对称规律 横 x轴 对称横 坐标 不变 纵 坐标 为相反数 纵 y轴 对称纵 坐标 不变 横 坐标 为相反数 3 二次函数图象的旋转抛物线的旋转中最常见的是绕其顶点旋转180 解这类旋转的关键是紧紧抓住顶点不变 开口大小不变 只是开口方向反向 思考 2010桂林 将抛物线y 2x2 12x 16绕它的顶点旋转180 所得抛物线的解析式是 A y 2x2 12x 16B y 2x2 12x 16C y 2x2 12x 19D y 2x2 12x 20 五 函数y ax2 bx c中a b c符号与函数图象关系 1 a决定抛物线的开口方向 a 决定抛物线的开口大小 a 越大 抛物线开口越小 2 a与b共同决定抛物线的对称轴位置 当a与b同号时 对称轴在y轴左侧 当a与b异号时 对称轴在y轴右侧 简记为 同左异右 3 c决定抛物线与y轴的交点位置 c 0时 抛物线与y轴的交点在原点上方 c 0时 抛物线过原点 c 0时 抛物线与y轴的交点在原点下方 4 b2 4ac决定抛物线与x轴的交点个数 当b2 4ac 0时 抛物线与x轴有两个交点 当b2 4ac 0时 抛物线与x轴只有一个交点 当b2 4ac 0时 抛物线与x轴没有交点 5 一些特殊代数式的符号问题 式子a b c的符号由点 1 a b c 的位置决定 式子a b c的符号由点 1 a b c 的位置决定 式子4a 2b c的符号由点 2 4a 2b c 的位置决定 式子4a 2b c的符号由点 2 4a 2b c 的位置决定 思考 二次函数y ax2 bx c的图象如图 则a b c的大小关系是 A a b c B a c b C a b c D a b c关系不能确定 思考 在同一坐标系内 函数y ax2 by ax b a b 的大致图象是 思考 已知抛物线y ax2 bx c的图象如图 则b2 4ac 2a b abc a b c a b c 这五个代数式中 值为正的有 A 5个 B 4个 C 3个 D 2个 B 六 二次函数的最值 1 如果自变量的取值范围是全体实数 那么函数在顶点处取得最大值 或最小值 2 如果自变量的取值范围是 那么 首先要看是否在自变量 取值范围x1 x x2内 若在此范围内 则当时 若不在此范围内 则需考虑函数在x1 x x2范围内的增减性 如果在此范围内 y随x的增大而增大 则x x2时 当x x1时 如果在此范围内 y随x的增大而减小 则当x x1时 当x x2时 4 5 8 二次函数与一元二次方程的关系 1 方程的解也就是二次函数 图象与x轴的交点的横坐标 2 二次函数图象与x轴的位置关系有三种 有两个公共点 一个公共点 没有公共点 这对应着一元二次方程的根的三种情况 例1 2007甘肃兰州 二次函数y ax2 bx c图象如图所示 则点A ac bc 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 x y O 例2 在直角坐标平面中 O为坐标原点 二次函数 的图象与y轴交于点A 与x轴的负半轴交于点B 且 1 求点A与点B的坐标 例