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1 3反证法 1 3反证法 复习引入 综合法 分析法 因 果 由因导果法 果 因 执果索因法 直接证明 间接证明 反证法 a b c三个人 a说b撒谎 b说c撒谎 c说a b都撒谎 则c必定是在撒谎 为什么 假设c没有撒谎 则c真 由a假 知b真 那么假设 c没有撒谎 不成立 则c必定是在撒谎 那么a假且b假 这与b假矛盾 分析 由假设 3 反证法的步骤 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 由矛盾判定假设不正确 而肯定命题的结论正确 要证结论p 假设非p为真 导致矛盾 断定 非p为假 p必为真 原命题得证 定义 一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 由此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 思考 此法的原理和实质是什么 原理 否定之否定就是肯定 实质 证明命题的逆否命题和原命题同时成立 例1 已知a是整数 2能整除a2 求证 2能整除a 证明 假设命题的结论不成立 即 2不能整除a 因为a是整数 故a是奇数 a可表示为2m 1 m为整数 则 即a2是奇数 所以 2不能整除a2 这与已知 2能整除 相矛盾 于是 2不能整除a 这个假设错误 故2能整除a 例2 在同一平面内 两条直线a b都和直线c垂直 求证 a与b平行 证明 假设命题的结论不成立 即 直线a与b相交 设直线a b的交点为m a c的交点为p b c的交点为q 如图所示 则 pmq 0 这样 的内角和 这与定理 三角形的内角和等于180 相矛盾 这说明假设是错误的 所以直线a与b不相交 即a与b平行 反证法的步骤 总结 1 反设 假设结论的反面成立 2 归谬 由反设出发 通过正确推理 导出矛盾 3 结论 结论的反面不成立 即原结论正确 1 直接证明比较困难 2 直接证明需分成很多类 而对立命题分类较少 3 结论有 至少 至多 有无穷多个 之类字样 4 结论为 唯一 之类的命题 应用反证法的情形 思考 归谬是 反证法 的核心步骤 归谬得到的逻辑矛盾 常见的类型有哪些 归谬包括推出的结果与已知定义 公理 定理 公式矛盾 或与已知条件 临时假设矛盾 以及自相矛盾等各种情形 分析 至少有一个 若从正面考虑 需分多种情况 一一去证明 比较繁琐 而反方面只有 没有一个数大于25 这一种情况 即 所有的数都小于等于25 相对而言 从反方面入手更加简便 1 已知 求证 中至少有一个数大于25 试分析下列题目 并写出反证法的证明过程 注意有两个方面 不要想当然地认为 不大于 就是 小于 2 求证 不可能是一个等差数列中的三项 分析 设为等差数列 则可由等差数列的相关概念 如公差或等差中项等推出矛盾 3 空间中有平面 直线 且有求证 分析 设 不平行 由立体几何知识容易推得直线与面相交 与条件矛盾 反证法定义 反证法步骤 反设 归谬 结
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