北师大版选修22 1.4 数学归纳法 课件（71张）.ppt

推理与证明 第一章 4数学归纳法 第一章 1 了解数学归纳法的原理 掌握用数学归纳法证明命题的步骤与格式 2 能够利用数学归纳法证明代数恒等式和不等式 3 能够利用数学归纳法解决整除性问题和几何中的计算问题 本节重点 数学归纳法证明命题的步骤与格式 本节难点 数学归纳法第二步证明中使用归纳假设 1 数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法 它的基本步骤是 1 验证 时 命题成立 2 在 的前提下 推出 时 命题成立 根据 1 2 可以断定命题对一切正整数n都成立 n 1 假设当n k k 1 时命题成立 当n k 1 2 归纳推理与数学归纳法的关系数学上 在归纳出结论后 还需给出严格证明 在学习和使用数学归纳法时 需要特别注意 1 用数学归纳法证明的对象是与 的命题 2 在用数学归纳法证明中 两个基本步骤 正整数n有关 缺一不可 1 用数学归纳法证明命题的第一步时 是验证使命题成立的最小正整数n 注意n不一定是1 2 当证明从k到k 1时 所证明的式子不一定只增加一项 其次 在证明命题对n k 1成立时 必须运用命题对n k成立的归纳假设 步骤二中 在由k到k 1的递推过程中 突出两个 凑 一 凑 假设 二 凑 结论 关键是明确n k 1时证明的目标 充分考虑由n k到n k 1时命题形式之间的区别与联系 若实在凑不出结论 特别是不等式的证明 还可以应用比较法 分析法 综合法 放缩法等来证明当n k 1时命题也成立 这也是证题的常用方法 3 用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成 缺一不可 尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决 但题目若要求用数学归纳法证明 则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行 否则不正确 4 要注意 观察 归纳 猜想 证明 的思维模式 和由特殊到一般的数学思想的应用 加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力 5 数学归纳法与归纳推理不同 1 归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性 推断该类事物中每一个都有这种属性 结果不一定正确 需要进行严格的证明 2 数学归纳法是一种证明数学命题的方法 结果一定正确 6 在学习和使用数学归纳法时 需要特别注意 1 用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题 要求这个命题对所有的正整数n都成立 2 在用数学归纳法证明中 两个基本步骤缺一不可 数学归纳法是推理逻辑 它的第一步称为奠基步骤 是论证的基础保证 即通过验证落实传递的起点 这个基础必须真实可靠 它的第二步称为递推步骤 是命题具有后继传递的保证 即只要命题对某个正整数成立 就能保证该命题对后继正整数都成立 两步合在一起为完全归纳步骤 称为数学归纳法 这两步各司其职 缺一不可 特别指出的是 第二步不是判断命题的真伪 而是证明命题是否具有传递性 如果没有第一步 而仅有第二步成立 命题也可能是假命题 证明等式 点评 在推证 n k 1 命题也成立时 必须把 归纳假设 n k时的命题 作为必备条件使用上 否则不是数学归纳法 证明不等式 2 应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤 第 步p n0 成立是推理的基础 第 步由p k p k 1 是推理的依据 即n0成立 则n0 1成立 n0 2成立 从而断定命题对所有的自然数均成立 另一方面 第 步中 验证n n0中的n0未必是1 根据题目要求 有时可为2 3等 第 步中 证明n k 1时命题也成立的过程中 要作适当的变形 设法用上上述归纳假设 分析 按照数学归纳法的步骤证明 由n k到n k 1的推证过程可应用放缩技巧 使问题简单化 证明整除问题 证明 1 当n 1时 3 53 24 391 17 23是17的倍数 假设3 52k 1 23k 1 17m m是整数 则3 52 k 1 1 23 k 1 1 3 52k 1 2 23k 1 3 3 52k 1 25 23k 1 8 3 52k 1 23k 1 8 17 3 52k 1 8 17m 3 17 52k 1 17 8m 3 52k 1 m k都是整数 17 8m 3 52k 1 能被17整除 即n k 1时 3 52n 1 23n 1是17的倍数 2 令f n 3n 1 7n 1 f 1 4 7 1 27能被9整除 假设f k 能被9整除 k n f k 1 f k 3k 4 7k 1 3k 1 7k 7k 18k 27 9 7k 2k 3 能被9整除 f k 1 能被9整除 由 可知 对任意正整数n f n 都能被9整除 点评 用数学归纳法证明整除问题 当n k 1时 应先构造出归纳假设的条件 再进行插项 补项等变形整理 即可得证 已知数列 an 满足a1 0 a2 1 当n n 时 an 2 an 1 an 求证 数列 an 的第4m 1项 m n 能被3整除 证明 1 当m 1时 a4m 1 a5 a4 a3 a3 a2 a2 a1 a2 a1 2a2 a1 3a2 2a1 3 0 3 即当m 1时 第4m 1项能被3整除 故命题成立 2 假设当m k时 a4k 1能被3整除 则当m k 1时 a4 k 1 1 a4k 5 a4k 4 a4k 3 2a4k 3 a4k 2 2 a4k 2 a4k 1 a4k 2 3a4k 2 2a4k 1 显然 3a4k 2能被3整除 又由假设知a4k 1能被3整除 3a4k 2 2a4k 1能被3整除 即当m k 1时 a4 k 1 1也能被3整除 命题也成立 由 1 和 2 知 对于n n 数列 an 中的第4m 1项能被3整除 几何问题 分析 用数学归纳法证明几何问题 主要是搞清楚当n k 1时比n k时 分点增加了多少 区域增加了几块 本题中第k 1个圆被原来的k个圆分成2k条弧 而每一条弧把它所在的部分分成了两部分 此时共增加了2k个部分 问题就容易得到解决 解析 当n 1时 一个圆把平面分成两部分 12 1 2 2 命题成立 假设当n k时命题成立 k n k个圆把平面分成k2 k 2个部分 当n k 1时 这k 1个圆中的k个圆把平面分成k2 k 2个部分 第k 1个圆被前k个圆分成2k条弧 每条弧把它所在部分分成了两个部分 这时共增加了2k个部分 即k 1个圆把平面分成 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2个部分 即命题也成立 由 可知 对任意n n 命题都成立 点评 利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚 一定要讲清从n k到n k 1时 新增加量是多少 一般地 证明第二步时 常用的方法是加一法 即在原来k的基础上 再增加1个 也可以从k 1个中分出1个来 剩下的k个利用假设 点评 关于几何题的证明 应分清k到k 1的变化情况 建立k的递推关系 归纳 猜想 证明 误解 假设n k时 结论成立 即2 4 2k k2 k 1 那2 4 2k 2 k 1 k2 k 1 2 k 1 k 1 2 k 1 1 即当n k 1时 等式也成立 因此 对大于0的自然数n 2 4 2n n2 n 1都成立 误解 假设n k时 结论成立 即2 4 2k k2 k 1 那2 4 2k 2 k 1 k2 k 1 2 k 1 k 1 2 k 1 1 即当n k 1时 等式也成立 因此 对大于0的自然数n 2 4 2n n2 n 1都成立 正解 不成立 当n 1时 左边 2 右边 12 1 1 3 左边 右边 所以不成立 点评 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的 特别是步骤 1 往往十分简单 但却是不可忽视的步骤 本题中 虽然已经证明了 如果n k时等式成立 那么n k 1时等式也成立 但是如果仅根据这一步就得出等式对任何n n 都成立的结论 那就错了 事实上 当n 1时 上式左边 2 右边 12 1 1 3 左边 右边 而且等式对任何n都不成立 这说明如果缺少步骤 1 这个基础 步骤 2 就没有意义了 答案 d 解析 当n 1时 上式可化为ab a b 11 当n 2时 上式可化为ab 2 a b 16 由 可得a b 5 ab 6 验证可知只有选项d适合 3 用数学归纳法证明 n3 n 1 3 n 2 3 n n 能被9整除 要利用归纳假设证n k 1时的情况 只需展开 a k 3 3b k 2 3c k 1 3d k 1 3 k 2 3 答案 a 解析 因为从n k到n k 1的过渡 增加了 k 1 3 减少了k3 故利用归纳假设 只需将 k 3 3展开 证明余下的项9k2 27k 27能被9整除 二 填空题4 n为正奇数 求证 xn yn能被x y整除 当第二