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1 2 1综合法 数学是一门严谨的科学 数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明 在证明数学命题时 我们可以从已知条件出发 依据学过的数学定义 公理 定理以及运算法则等等 通过推理 证明命题的结论 例1求证 是函数的一个周期 证明 因为 所以 由周期函数的定义可知 是函数的一个周期 本题的证明形式是怎样的 因 果 条件给出方程的两根是 那么这两根是什么 用a b c怎样表示 由初中的求根公式我们可以表示方程的根 例2已知和是方程的两个根 求证 分析 所以 本题的证明形式又是怎样的 因 果 证明形式 本题条件 已知公式 已知定义 本题结论 以上两题的证明形式有什么共同特点 因 果 由原因推导结果 通过上述证明 可以发现 它们都是从命题的条件出发 以定义 定理 公理及运算法则等 通过严格的推理 一步一步地接近要证明的结论 直到推导出所要的结论 概括总结 我们把这种证明方法叫做综合法 或者叫做顺推证法 若用框图表示过程 应为 条件 结论 因其证明的过程都是由因导果的形式 所以综合法又称由因导果法 因 果 例3已知 为互不相等的实数 且 求证 由条件得 证明 又由是不等实数 得 同理有 所以 因 果 综合法 条件 结论 又叫顺推法 或由因导果法 综合法的特点 从 已知 看 可知 逐步推问 未知 由因导果 逐步推理 寻找必要条件 1 2 2分析法 在证明数学命题的时候 也可以从命题的结论入手 寻求保证结论成立的条件 直到归结为命题给定的条件或定义 公理 定理等 例题讲解 例1已知 是不相等的正数 求证 证明 要证需证需证需证需证且由于是不相等的正数 所以能保证上式成立 则命题得证 本题的证明形式有何特点 从哪里出发 果 因 例2求证 证明 要证 即证 即证 即证 由于显然成立 所以命题成立 分析 由于含根号 所以考虑将根号去掉 果 因 例3求证 函数在区间上是递增的 证明 要证在上递增 即证对于任意 且时 有 即证对于任意的 有 果 因 由条件知 且 则有 且 它们保证了 所以在上是递增的 不难看出 这几例都是从结论出发寻找其成立的充分条件而进行证明的 即执果索因 果 因 从结论出发 一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件 直到归结为这个命题的条件 或者归结为定义 定理 公理等 这样的思维方法 我们称之为分析法 又叫逆推法 或者执果索因法 概括总结 特点 执果索因 即由求证走向已知 果 因 例4已知 be cf分别是 abc边ac ab上的高 g是ef中点 h是bc中点 求证 hg ef 分析 由题意 g是ef中点 要证hg ef 只要说明 ehf是等腰三角形即可 即证明eh hf 证明 要证hg ef 即证eh hf 由cf ab hb hc 知fh是rt bcf斜边中线 则2fh bc 同理2he bc 故
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