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文档简介

第十九讲 范数理论及其应用一、向量范数范数可以看作长度概念的推广，主要用于逼近的程度。 1. 向量范数定义：设V为数域K上的向量空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数，并满足以下三个条件： （1）非负性 ，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 （3）三角不等式。则称为V中向量x的范数，简称为向量范数。例1. ，它可表示成， 就是一种范数证明：（i）非负性 ，当且仅当时，即x0时，0 （ii）齐次性 （iii） ， 根据Hlder不等式：， 2. 两类向量范数（1）推广到 ，A为厄米正定矩阵（椭圆范数）当， 加权范数（2） （p1）,称为向量的p-范数或范数。证明：显然满足非负性和齐次性 （iii），应用Hlder不等式 即 3. 向量范数的等价性定理1. 设、为的两种向量范数，则必定存在正数m、M，使得 ，（m、M与x无关），它就称为向量范数的等价性。同时有二、矩阵范数1. 矩阵范数定义：设表示数域k上全体阶矩阵的集合。若对于中任一矩阵A，均对应一个实值函数，并满足以下四个条件： （1）非负性： ，等号当且仅当A=0时成立； （2）齐次性： （3）三角不等式：则称为广义矩阵范数； （4）相容性： 则称为矩阵范数。2. 常用的矩阵范数（1）p-范数：，,x为所有可能的向量， ，可以证明： 列（和）范数谱范数 行（和）范数 （2）Frobenius范数（F-范数）和导出性范数 F-范数： 导出性范数：设为数域k上n维向量空间（k=R或C）的一种向量范数。可定义矩阵范数为： 三、应用逼近和误差估计是矩阵范数应用的主要领域。 矩阵条件数：由相容性可知：对于导出性范数 条件数反映了误差放大的程度，条件数越大，矩阵越病态。对于方程 考虑两种情况：(1) b存在误差； (2) A存在误差（1） b存在误差，求出的x存在误差，考察相对误差，求 （2） A存在误差，求出
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