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文档简介
函数的极值 利用函数的导数 讨论函数f x 2x3 6x2 7在r上的单调性 并根据单调性画出函数图象草图 略解 f x 6x2 12x 6x x 2 令6x x 2 0 解得x 2或x 0 当x 0 或x 2 时 f x 是增函数 令6x x 2 0 解得0 x 2 当x 0 2 时 f x 是减函数 函数图象草图如下 复习引入 由上图可以看出 x 0点处的函数值f 0 比它附近点的函数值都要大 x 2点处的函数值f 2 比它附近点的函数值都要小 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是函数的一个极大值 记作y极大值 f x0 如果对x0附近所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是函数的一个极小值 记作y极小值 f x0 极大值与极小值统称为极值 1 极值的定义 新课讲授 说明 1 附近是指某一点附近的小区间而言 是一个局部概念 2 在整个定义域内 可以有多个极大值和极小值 3 极大值和极小值之间没有确定的大小关系 1 在函数取得极值处 如果曲线有切线 切线的斜率相同吗 都是多少呢 2 在函数极大 小 值点两侧 函数的单调性有什么特点 一般地 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么 f x0 是极小值 2 极值的判别方法 解 y x2 4 x 2 x 2 令y 0 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y y的变化情况如下表 3 例题与练习 例1求y x3 4x 4的极值 因此 当x 2时 y有极大值 y极大值 当x 2时 y有极小值 y极小值 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取的极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取的极小值 求可导函数f x 的极值的步骤如下 思考 对于函数y f x 如果f x0 0 x0点是否一定是函数y f x 的极值点呢 例2 求y x2 1 3 1的极值点 对于可导函数导数为0是点是极值点的必要条件 点两侧的导数异号是点是极值点的充分条件 4 点是极值点的充分条件和必要条件 判断正误 点x 0是函数y x3的极值点 答 错误 x 0不是函数的极值点 1 极值的定义 2 判别极值点的的方法和步骤 3 点是极值点的充分条件和必要条件 归纳小结 1 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值点 极值为
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