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探究三角形“四心”到三边距离的等量关系226100 江苏省海门中学 渠怀莲 在北大自主招生（2012年）试题中，有这样一道题：若锐角的外接圆的圆心为，求点到此三角形各边的距离之比。在解决此问题时，让笔者想到此三角形为什么限制是锐角，不是锐角结果会怎样？条件中的外心，变为三角形的内心、重心与垂心结果又如何？这就引发了对该题目的探究，并将探究过程整理如下。本文中我们假设中角对应的边为已知条件，因而对各角的三角函数值都可以求之，作为条件可以直接使用并记各“心”到三角形对应边的距离为，其外接圆的半径，内切圆的半径。问题1：若锐角的外接圆的圆心为，求点到些三角形各边的距离之比。解：（三角形各边中垂线的交点为其外心）如图1.1作，由圆相关性质，在中，同理可得：，所以。思考1：若为直角三角形，则点在边上，则，因而不能求其比值，但此时。 思考2：若为钝角三角形，如图1.2则点在外部，此时由圆相关性质，由问题1，同理可得：，所以。由以上分析可得到性质：在斜三角形中，其外心到三边距离之比等于对应角余弦值的绝对值之比即。问题2：若的内心为，求点到三边的距离之比。解：（三角形各角的平分线的交点为其内心）由内心的定义，可知点到三边的距离相等，即，且易得。问题3：若的重心为，求点到三边的距离之比。解：（三角形各边的中线的交点为其重心）用等积法求之，连结，因是重心，则即可得到，所以即得三角形中，其重心到三边距离之比等于对应各边长倒数之比。问题4：若的垂心为，试探究点到三边的距离的等量关系式。解：（三角形各边高线的交点为其垂心）由三角形的垂心位置与其形状有关，按角分类讨论：（1）当为直角三角形时，垂心在点，记为，易得，而由等积法可求。（2）当为锐角三角形时，垂心在其内部，如图4.1同理可得：。探究一下三者的关系，设边对就的高为,又，代入上式：。（3）当为钝角三角形时，垂心在其外部，如图4.1易知，所以同理可得：，。由以上分析可得到性质：在斜三角形中，其垂心到三边距离之比为由正弦定理，我们可以得到更优美的形式：综上所述，我们得到斜三角形的各心到三边的距离有着整齐的比例关系，现总结如下：内心到三边距离之比为：外心到三边距离之比为：重心到三边距离之比为：垂心到三边距离之比为：参考文献1 匡继昌.常用不等式.山东科学技术出版社(第四版)2 朱华伟.高中自主招生与奥数讲义.浙
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