2013年-2015年高考卷.doc

1 2013 年普通高等学校统一考试试题 江苏卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相印位置分 请把答案填写在答题卡相印位置 上 上 1 函数 4 2sin 3 xy的最小正周期为 2 设 2 2 iz i为虚数单位 则复数z的模为 3 双曲线1 916 22 yx 的两条渐近线的方程为 4 集合 1 0 1 共有 个子集 5 右图是一个算法的流程图 则输出的n的值是 6 抽样统计甲 乙两位设计运动员的 5 此训练成绩 单位 环 结果如下 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 7 现在某类病毒记作 nmY X 其中正整数m n 7 m 9 n 可以任意选取 则 nm 都取到奇数的概率为 8 如图 在三棱柱ABCCBA 111 中 FED 分别是 1 AAACAB 的中点 设三棱 锥ADEF 的体积为 1 V 三棱柱ABCCBA 111 的体积为 2 V 则 21 V V 9 抛物线 2 xy 在1 x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D 包含三角形内部和边界 若点 yxP是区域D内的任意一点 则yx2 的取值范围是 10 设ED 分别是ABC 的边BCAB 上的点 ABAD 2 1 BCBE 3 2 A B C 1 A D E F 1 B 1 C 2 若ACABDE 21 21 为实数 则 21 的值为 11 已知 xf是定义在R上的奇函数 当0 x时 xxxf4 2 则不等式xxf 的解集用区间表示为 12 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的标准方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 右焦点为 F 右准线为l 短轴的一个端点为B 设原点到直线BF的距离为 1 d F到l的距离 为 2 d 若 12 6dd 则椭圆C的离心率为 13 在平面直角坐标系xOy中 设定点 aaA P是函数 x y 1 0 x 图象上一动点 若点AP 之间的最短距离为22 则满足条件的实数a的所有值为 14 在正项等比数列 n a中 2 1 5 a 3 76 aa 则满足 nn aaaaaa 2121 的 最大正整数n的值为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知 sin cos sin cos ba 0 1 若2 ba 求证 ba 2 设 1 0 c 若cba 求 的值 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥ABCS 中 平面 SAB平面SBC BCAB ABAS 过A作 SBAF 垂足为F 点GE 分别是棱SCSA 的中点 求证 1 平面 EFG平面ABC 2 SABC A B C S G F E 3 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 点 3 0 A 直线42 xyl 设圆C的半径为1 圆心在l上 1 若圆心C也在直线1 xy上 过点A作圆C的切线 求切线的方程 2 若圆C上存在点M 使MOMA2 求圆心C的横坐 标a的取值范围 18 本小题满分 16 分 如图 游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径 一种是从A沿直线步行 到C 另一种是先从A沿索道乘缆车到B 然后从B沿直线步行到C 现有甲 乙两 位游客从A处下山 甲沿AC匀速步行 速度为min 50m 在甲出发min2后 乙从 A乘缆车到B 在B处停留min1后 再从匀速步行到C 假设缆车匀速直线运动的 速度为min 130m 山路AC长为m1260 经测量 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道AB的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 x y A l O C B A D M N 4 19 本小题满分 16 分 设 n a是首项为a 公差为d的等差数列 0 d n S是其前n项和 记 cn nS b n n 2 Nn 其中c为实数 1 若0 c 且 421 bbb 成等比数列 证明 knk SnS 2 Nnk 2 若 n b是等差数列 证明 0 c 20 本小题满分 16 分 设函数axxxf ln axexg x 其中a为实数 1 若 xf在 1 上是单调减函数 且 xg在 1 上有最小值 求a的取值范围 2 若 xg在 1 上是单调增函数 试求 xf的零点个数 并证明你的结论 5 2014 年普通高等学校统一考试试题 江苏卷 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 21 3 4 A 1 2 3 B 则AB 学科王 2 已知复数 2 52 zi i 为虚数学科王单位 则 z 的实部为 3 右图是一个算法流程图 则输出的 n 的值是 4 从1 2 3 6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数 则所取 2 个数的乘积为 6 的 概率是 5 已知函数cosyx 与sin 2 0 yx 它们的学科王图象学科王有一个横坐标为 3 的交点 则 的值是 6 设抽测的树木的底部周长均在区间 80 130 上 其频率分布 直方图如图所示 则在抽测的 60 株树木中 有 株 树木的底部周长小于 100 cm 7 在各项均为正数的等比数学科王列 n a中 若 2 1a 864 2aaa 则 6 a的值是 8 设甲学科王 乙两个圆柱的底面积分别为 12 SS 体积分别为 12 VV 若它们的侧面积相等 且 1 2 9 4 S S 则 1 2 V V 的值是 9 在平面直角坐标系 xOy 中 直线230 xy 被圆 22 2 1 4xy 截得的弦长为 10 已知函数 2 1f xxmx 若学科王对任意 1 xm m 都有 0f x 成立 则实数 m 的 取值范围是 学科王 11 在平面直角坐标系 xOy 中 若曲线 2b yax x a b 为常数 过点 25 P 且该曲线在 6 点 P 处的切线与直线7230 xy 平行 则ab 的值是 12 如图 在平行四边形 ABCD 中 已知学科王 85ABAD 32CPPD AP BP 则 AB AD 的 值是 13 已知 f x是定义在 R 上且周期为 3 的函数 当 0 3 x 时 21 2 2 f xxx 若函数 yf xa 在区间 3 4 上有 10 个零点 互不相同 则实数 a 的取值范围是 14 若ABC 的内角满足sin2sin2sinABC 则cosC的最小值是 二 解答题 本大题共6小题 共计学科王90 分 15 本小题满分 14 分 已知 2 5 sin 5 1 求 sin 4 的值 2 学科王求 cos2 6 的值 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥PABC 中 D E F 分别为棱PCACAB 的中 点 已知6PAAC PA 8BC 5DF 1 求证 直线 PA 平面 DEF学科王 2 平面 BDE 平面 ABC 7 17 本小王题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 12 FF 分别是椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 的左 右学科王焦点 顶点 B 的坐标为 0 b 连结 2 BF 并延长交椭圆于 点 A 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C 连结 1 FC 1 若点 C 的坐标为 4 1 3 3 且 2 2BF 求椭圆的方程 2 若 1 FCAB 求椭圆离心率 e 的值 18 本小题满分 16 分 如图 为了保护河上古桥OA 规划建一座新桥 BC 同时设立一个圆形保护区 规划要求 新桥 BC 与河 岸 AB 垂直 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上 并与 BC 相切的圆 且古桥两端 O 和 A 到该圆上 任意一点的距离均不少于 80m 经测量 点 A 位 于点 O 正北方向 60m 处 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处 OC 为河岸 3 4 tan BCO 1 求新桥 BC 的长 2 当 OM 多长时 圆形保护区的面积最大 170 m 60 m 东 北 O A B M C 第 18 题 8 19 本小题满分 1学科王6 分 已知函数 ee xx f x 其中 e 是自然对数的底数 1学科王 证明 f x是R 上的偶函数 2 若关于 x 的学科王不等式 e1 x mf xm 在 0 上恒成立 求实数 m 的取值范围 3 已知正数 a 满足 存学科王在 0 1 x 使得 3 000 3 f xaxx 成立 试比较 1 e a 与 e 1 a 的大小 并证明你的结论 20 本小题满分 16学科王分 设数列 n a的前 n 项和为 n S 若对任意的正整数 n 总存在正整数 m 使得 nm Sa 则称 n a是 H 数列 1 若数列学科王 n a的前 n 项和2 n n Sn N 证明 n a是 H 数列 2 设学科王 n a是等差数列 其首项 1 1a 公差0d 若 n a是 H 数列 求 d 的值 3 证明 对任意的等差数列 n a 总存在两个 H 数列 n b和 n c 使得 nnn abc n N成立 9 2015 年普通高等学校统一考试试题 江苏卷 一 填空题填空题 本大题共本大题共 14 个小题个小题 每小题每小题 5 分分 共共 70 分分 1 已知集合 则集合中元素的个数为 3 2 1 A 5 4 2 BBA 2 已知一组数据 4 6 5 8 7 6 那么这组数据的平均数为 3 设复数 z 满足 i 是虚数单位 则 z 的模为 2 34zi 4 根据如图所示的伪代码 可知输出的结果 S 为 S 1 I 1 While I10 S S 2 I I 3 End While Print S 第 4 题图 5 袋中有形状 大小都相同的 4 只球 其中 1 只白球 1 只红球 2 只黄球 从中一次随机 摸出 2 只球 则这 2 只球颜色不同的概率为 6 已知向量 a b 若 ma nb 的值为 1 2 2 1 8 9 Rnm nm 7 不等式的解集为 2 24 xx 8 已知 则的值为 tan2 1 tan 7 tan 9 现有橡皮泥制作的底面半径为 5 高为 4 的圆锥和底面半径为 2 高为 8 的圆柱各一个 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变 但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个 则 新的底面半径为 10 10 在平面直角坐标系中 以点为圆心且与直线相切的xOy 0 1 012Rmmymx 所有圆中 半径最大的圆的标准方程为 11 数列满足 且 则数列的前 10 项和为 n a1 1 a1 1 naa nn Nn 1 n a 12 在平面直角坐标系中 为双曲线右支上的一个动点 若点到直线xOyP1 22 yxP 的距离大于 c 恒成立 则是实数 c 的最大值为 01 yx 13 已知函数 则方程实根的个数 ln xxf 1 2 4 10 0 2 xx x xg1 xgxf 为 14 设向量 则的值为 12 2 1 0 6 cos 6 sin 6 cos k kkk ak 11 1 0 kk k aa 二 解答题二 解答题 本大题共 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算解答应写出文字说明 证明过程或演算 步骤步骤 15 本小题满分 14 分 在中 已知 ABC 60 3 2 AACAB 1 求的长 BC 2 求的值 C2sin 16 本题满分 14 分 如图 在直三棱柱中 已知 设的中点为 111 CBAABC BCAC 1 CCBC 1 AB D 求证 1 EBCCB 11 CCAADE 11 平面 2 11 ABBC 11 17 本小题满分 14 分 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路 为进一步改善山区的交通现状 计划修建一 条连接两条公路的山区边界的直线型公路 记两条相互垂直的公路为 山区边界曲线为 12 ll C 计划修建的公路为 l 如图所示 M N 为 C 的两个端点 测得点 M 到的距离分别 12 ll 为 5 千米和 40 千米 点 N 到的距离分别为 20 千米和 2 5 千米 以所在的直线分 12 ll 12 ll 别为 x y 轴 建立平面直角坐标系 xOy 假设曲线 C 符合函数 其中 a b 为常 2 a y xb 数 模型 1 求 a b 的值 2 设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点 P 的横坐标为 t 请写出公路 l 长度的函数解析式 并写出其定义域 f t 当 t 为何值时 公路 l 的长度最短 求出最短长度 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆的离心率为 且右 22 22 10 xy ab ab 2 2 焦点 F 到左准线 l 的距离为 3 12 1 求椭圆的标准方程 2 过 F 的直线与椭圆交于 A B 两点 线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P C 若 PC 2AB 求直线 AB 的方程 19 本小题满分 16 分 已知函数 23 Rbabaxxxf 1 试讨论的单调性 xf 2 若 实数 c 是 a 与无关的常数 当函数有三个不同的零点时 aacb xf 的取值范围恰好是 求 c 的值 2 3 2 3 1 3 20 本小题满分 16 分 设是各项为正数且公差为 d的等差数列 1234 a a a a 0 d 1 证明 依次成等比数列 3124 2 2 2 2 aaaa 2 是否存在 使得依次成等比数列 并说明理由 1 a d 234 1234 a aaa 3 是否存在及正整数 使得依次成等比数列 并说明 1 a d n k knknknn aaaa 3 4 2 321 理由 13 2013 年普通高等学校统一考试试题参考答案 江苏卷 一 填空题 一 填空题 1 2 5 3 xy 4 3 4 8 5 3 6 2 7 63 20 8 1 24 9 2 1 2 10 11 5 0 5 12 3 3 13 1 或10 14 12 1 2 二 解答题 二 解答题 15 解 解 1 a b cos cos sin sin a b 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2 cos cos sin sin 2 所以 cos cos sin sin 0 所以 ba 2 1sinsin 0coscos 2 2得 cos 1 2 所以 3 2 3 2 带入 得 sin 3 2 sin 2 3 cos sin sin 3 1 1 2 所以 3 2 所以 6 5 6 16 证 证 1 因为 SA AB 且 AF SB 所以 F 为 SB 的中点 又 E G 分别为 SA SC 的中点 所以 EF AB EG AC 又 AB AC A AB 面 SBC AC 面 ABC 所以 平面 EFG平面ABC 2 因为平面 SAB 平面 SBC 平面 SAB 平面 SBC BC AF 平面 ASB AF SB 所以 AF 平面 SBC 又 BC 平面 SBC 所以 AF BC 又 AB BC AF AB A 所以 BC 平面 SAB 又 SA 平面 SAB 所以 SABC 14 17 解 解 1 联立 42 1 xy xy 得圆心为 C 3 2 设切线为 3 kxy d 1 1 233 2 r k k 得 4 3 0 kork 故所求切线为 3 4 3 0 xyory 2 设点 M x y 由MOMA2 知 2222 2 3 yxyx 化简得 4 1 22 yx 即 点 M 的轨迹为以 0 1 为圆心 2 为半径的圆 可记为圆 D 又因为点M在圆C上 故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切 故 1 CD 3 其中 22 32 aaCD 解之得 0 a 12 5 18 解 解 1 如图作 BD CA 于点 D 设 BD 20k 则 DC 25k AD 48k AB 52k 由 AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 设乙出发 x 分钟后到达点 M 此时甲到达 N 点 如图所示 则 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 当 x min 时 MN 最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到 C 用时 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小 且为 500 m min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大 且为 500 m min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在 范围内 1250 43 625 14 19 证 1 若0 c 则dnaan 1 2 2 1 adnn Sn 2 2 1 adn bn 当 421 bbb 成等比数列 41 2 2 bbb 15 即 2 3 2 2 d aa d a 得 add2 2 又0 d 故ad2 由此 anSn 2 aknankSnk 222 aknSn k 222 故 knk SnS 2 Nnk 2 cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2 1 cn adn c adn c adn n 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 cn adn c adn 2 2 2 1 2 2 1 若 n b是等差数列 则BnAnbn 型 观察 式后一项 分子幂低于分母幂 故有 0 2 2 1 2 cn adn c 即0 2 2 1 adn c 而 2 2 1 adn 0 故0 c 经检验 当0 c时 n b是等差数列 20 解 解 1 a x xf 1 0 在 1 上恒成立 则a x 1 1 x 故 a 1 axg x e 若 1 a e 则axg x e 0 在 1 上恒成立 此时 axexg x 在 1 上是单调增函数 无最小值 不合 若a e 则axexg x 在 ln1 a 上是单调减函数 在 ln a上是单调 增函数 ln min agxg 满足 故a的取值范围为 a e 2 axg x e 0 在 1 上恒成立 则a ex 故 a 1 e 0 11 x x ax a x xf 若 0 a 令 x f 0 得增区间为 0 1 e 1 a 16 令 x f 0 得减区间为 1 a 当 x 0 时 f x 当 x 时 f x 当 x 时 f lna 1 0 当且仅当a 时取等号 1 a 1 a 1 e 故 当a 时 f x 有 1 个零点 当 0 a 时 f x 有 2 个零点 1 e 1 e 若 a 0 则 f x lnx 易得 f x 有 1 个零点 若 a 0 则0 1 a x xf在 0 上恒成立 即 axxxf ln 在 0 上是单调增函数 当 x 0 时 f x 当 x 时 f x 此时 f x 有 1 个零点 综上所述 当a 或 a 0 时 f x 有 1 个零点 当 0 a 时 f x 有 2 个零点 1 e 1 e 2014 年普通高等学校统一考试试题参考答案 江苏卷 一 填空题 一 填空题 1 2 21 3 5 4 5 6 24 7 4 8 9 10 1 3 1 36 3 2 2 55 5 2 0 2 11 3 12 22 13 14 1 0 2 62 4 二 解答题 二 解答题 15 1 2 12 2 16 1 D E 分别为 PC AC 的中点 DE PA 又 DE 平面 PAC PA 平面 PAC 直线 PA 平面 DEF 2 E F 分别为棱 AC AB 的中点 且 BC 8 由中位线知 EF 4 D E 分别为 PC AC 的中点 且 PA 6 由中位线知 DE 3 又 DF 5 DF EF DE 25 DE EF 又 DE PA PA EF 又 PA AC 又 AC EF E AC 17 平面 ABC EF 平面 ABC PA 平面 ABC DE 平面 ABC DE 平面 BDE 平面 BDE 平面 ABC 17 1 BF2 将点 C 代入椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 且 c b a a b 1 椭圆方程为 22 161 1 0 99 ab ab 2 2 1 2 x y 2 直线 BA 方程为 y x b 与椭圆联立得 22 22 1 0 xy ab ab x x 0 点 A 点 C F1 直线 CF1 斜率 k 又 F1C AB 1 e 18 1 过点 B 作 BE OC 于点 E 过点 A 作 AD BE 于点 F tan BCO 设 BC 5x CE 3x BE 4x OE AF 170 EF AO 60 BF 4x60 又 AB BC 且 BAF ABF 90 CBE BOC 90 ABF CBE 90 CBE BAF 90 tan BAF x 30 BC 5x 150m 新桥 BC 的长为 150m 2 以 OC 方向为 x 轴 OA 为 y 轴建立直角坐标系 设点 M 0 m 点 A 0 60 B 80 120 C 170 0 直线 BC 方程为 y x 即 4x 3y 半径 R 又因为古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一 18 点的距离均不少于 80m RAM 80 且 R80 80 80 35 R 此时圆面积最大 当 OM 10 时圆形保护 区面积最大 19 1 x 是 R 上的偶函数 fx f x f x 2 2 21 f x m 1 m f x f x 令 x时 g x g x g x 单调减 x时单调增 min g x g x g x g x 若关于 x 的不等式 m m1 在 0 上恒成立 ln2 g f x 则只要 m min恒成立 m m g x 3 由题正数 a 满足 存在 x0 1 使得 x0 3 3x0 成立 0 x f 即 x0 3 3x0 令 x 3 3x 即 h x min 0 h x h x 19 3a 当 x 1 时 0 min e 2a h x h x 1 h 0 a 要比较与的大小 两边同时取以 e 为底的对数 只要比较 a 1 与 e 1 lna 的大小 令 a 1 e 1 lna y 1 a e 1 a y 时y 单调减 a 时y 单调增 又 y y 当 a 1 时 y 0 当 a 时 y0 当 a e 时 y 0 a e 1 时 y 0 当 时 y0 此时 a 1 e 1 lna 即 当 a e 时 y0 此时 a 1 e 1 lna 即 当 ae 时 y0 此时 a 1 e 1 lna 即 20 1 证明 n 又 2 n 存在 m n 1 使得 2 1 n 1 d 若 是 H 数列 则对任意的正整数 n 总存在正整数 m 使得 1 m 1 d 成 20 立 化简得 m 1 且 d0 又 m d 且 为整数 3 证明 假设成立且设都为等差数列 则 n 1 1 同理 取 k 由题 1 1 n 1 n k 1 可得 为等差数列 即可构造出两个等差数 列 和 同时也是 H 数列 满足条件 2015 年普通高等学校统一考试试题参考答案 江苏卷 一 填空题 一 填空题 1 5 2 6 3 4 7 5 6 7 8 3 9 5 5 6 3 1 2 7 10 11 12 13 4 14 22 1 2 xy 20 11 2 2 9 3 二 解答题二 解答题 15 21 16 17 22 2 由 1 知 则点的坐标为 2 1000 y x 520 x 2 1000 t t 设在点处的切线 交 轴分别于 点 lx y A 3 2000 y x 18 23 2 当轴时 又 不合题意 xA 2A C3 当与轴不垂直时 设直线的方程为 A xA 1yk x 11 x yA 22 xy 将的方程代入椭圆方程 得 A 2222 124210kxk xk 则 的坐标为 且 22 1 2 2 22 1 12 kk x k C 2 22 2 1212 kk kk 2 222 2 212121 2 2 2 1 1 12 k xxyykxx k A 若 则线段的垂直平分线为轴 与左准线平行 不合题意 0k A y 从而 故直线的方程为 0k C 2 22 12 1212 kk yx kkk 则点的坐标为 从而 2 2 52 2 12 k kk 22 2 2 311 C 12 kk kk 因为 所以 解得 C2 A