数列经典题目汇总.doc

14.(全国卷II)已知是各项为不同的正数的等差数列，、成等差数列又，() 证明为等比数列；() 如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差(注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)解：（）设数列an的公差为d，依题意，由 得 即，得 因 当=0时，an为正的常数列 就有 当=时，,就有于是数列是公比为1或的等比数列（）如果无穷等比数列的公比=1，则当时其前项和的极限不存在。因而=0，这时公比=， 这样的前项和为则S= 由，得公差=3，首项=315. (全国卷III) 在等差数列中，公差的等差中项.已知数列成等比数列，求数列的通项解：由题意得：1分 即3分又4分 又成等比数列,该数列的公比为，6分 所以8分又10分所以数列的通项为12分16. （山东卷）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.解：由已知可得两式相减得即从而当时所以又所以从而故总有，又从而即数列是等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=由上-=12当时，式=0所以；当时，式=-12所以当时，又所以即从而18. （天津卷）已知.（）当时，求数列的前n项和；（）求.（18）解：（）当时，这时数列的前项和式两边同乘以，得 式减去式，得若，若，（）由（），当时，则当时，此时，若，若，19. （天津卷）若公比为c的等比数列的首项1且满足：（3，4，）。 （I）求c的值。（II）求数列的前项和。20. （浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列，a1，了1，c4成等比数列，求a，b，c解：由题意，得由(1)(2)两式，解得将代入(3),整理得解得 或故,或经验算，上述两组数符合题意。21（浙江卷）设点(，0)，和抛物线：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到： x11，点P2(x2，2)在抛物线C1：yx2a1xb1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，点在抛物线：yx2an xbn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离 ()求x2及C1的方程 ()证明是等差数列解：（I）由题意，得。设点是上任意一点，则令 则由题意，得即又在上，解得故方程为(II)设点是上任意一点，则令，则.由题意得g，即又即 （*）下面用数学归纳法证明当n=1时， 等式成立。假设当n=k时，等式成立，即则当时，由（*）知 又即当时，等式成立。由知，等式对成立。是等差数列。22. (重庆卷)数列an满足a1=1且8an+1-16an+1+2an+5=0 (n1)。记(n1)。 (1) 求b1、b2、b3、b4的值； (2) 求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn。解法一：（I）（II）因，故猜想因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）。故的等比数列., 解法二：（）由整理得（）由所以故由得故解法三：（）同解法一（） 从而故23. (重庆卷)数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式，其中无理数e=2.71828. （）证明：（1）当n=2时，不等式成立. （2）假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（）由递推公式及（）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得即24. （江西卷）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.解：方法一：先考虑偶数项有： 同理考虑奇数项有：综合可得方法二：因为两边同乘以，可得：令所以 又25. （江西卷）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当