北师大版选修45 几个重要的不等式 章末分层突破 学案.doc

2018-2019学年北师大版选修4-5 几个重要的不等式 章末分层突破 学案自我校对一般形式的柯西不等式排序不等式逆序和乱序和原理贝努利不等式 柯西不等式的应用柯西不等式形式优美，结构易证，因此在解题时，根据题目特征，灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式已知a，b，c是实数，且abc1，求证：4.【精彩点拨】根据特征不等式的特点，可考虑用柯西不等式证明，但要先构造向量(1,1,1)，利用|mn|2|m|2|n|2证明【规范解答】因为a，b，c是实数，且abc1，令m(，)，n(1,1,1)则|mn|2()2，|m|2|n|23(13a1)(13b1)(13c1)313(abc)348.|mn|2|m|2|n|2，()248，4.再练一题1设a，b，x，y都是正数，且xyab，求证：.【证明】因为a，b，x，y都是正数，xyab，由柯西不等式可知(axby)2(ab)2.又axby2(ab)所以.利用排序不等式证明不等式应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组已知a，b，c为正数，求证：abc.【精彩点拨】本题属于左3项右3项的类型，虽然a，b，c没有顺序，但可用顺序不等式证明，不妨先设abc，再利用定理证明【规范解答】由于不等式关于a，b，c对称，可设abc0.于是a2b2c2，.由排序不等式，得a2b2c2a2b2c2，及a2b2c2a2b2c2.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中的不等式再练一题2设a，b，c为某一个三角形的三条边，abc，求证：(1)c(abc)b(cab)a(bca)；(2)a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.【证明】(1)用比较法：c(abc)b(cab)acbcc2bcabb2b2c2acab(bc)(bc)a(bc)(bca)(bc)因为bc，bca0，于是c(abc)b(cab)0，即c(abc)b(cab)同理可证b(cab)a(bca)综合，证毕(2)由题设及(1)知abc，a(bca)b(cab)c(abc)，于是由排序不等式“逆序和乱序和”得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ab(bca)bc(cab)ca(abc)3abcab(ba)bc(cb)ca(ac)再一次由“逆序和乱序和”得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ac(bca)ba(cab)cb(abc)3abcac(ca)ab(ab)bc(bc)将和相加再除以2，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.利用柯西不等式求最值由于柯西不等式是求解含多个变量式子最值(除平均值不等式外)的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果，同时，注意等号成立的条件求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值【精彩点拨】根据x，y的系数适当构造形式求解，切忌等号成立的条件【规范解答】由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，当且仅当，即x，y时，上式取等号故所求x，y.再练一题3已知xyz1，求2x23y2z2的最小值【解】由柯西不等式，得2x23y2z2(2x23y2z2)(xyz)2，2x23y2z2.当且仅当，即x，y，z时取等号2x23y2z2的最小值为.数学归纳法与猜想证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想，探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法已知f(n)1，g(n)，当n4时，试比较f()与g(n)的大小，并说明理由【精彩点拨】由f(n)与g(n)的关系，直接比较不容易，可先比较前n项，猜想出结论，再由数学归纳法证明【规范解答】由f()11，g(n)1，要比较f()与g(n)的大小，只需比较2n与n2的大小当n4时，241642，当n5时，25325225，当n6时，26646236.故猜测当n5(nn)时，2nn2，下面用数学归纳法加以证明(1)当n5时，命题显然成立(2)假设nk(k5，且kn)时，不等式成立，即2kk2(k5)，则当nk1时，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2(k1)22.由(1)(2)可知，对一切n5，nn，2nn2成立综上可知，当n4时，f()g(n)；当n5时，f()g(n)再练一题4在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nn)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想an，bn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想【解】(1)由条件可得2bnanan1，abnbn1，则a22b1a16，b29；a32b2a212，b316；a42b3a320，b425.猜想ann(n1)，bn(n1)2.(2)证明：当n1时，由a12，b14知结论正确假设当nk时结论正确，即akk(k1)，bk(k1)2.则nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.即nk1时结论正确由知猜想的结论正确.数学思想方法解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题本章常把要证明的不等式通过换元或恒等变形把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决已知abc，求证：.【精彩点拨】构造柯西不等式的证明【规范解答】ac(ab)(bc)，ac，ac0，(ac)(ab)(bc)(11)24，.再练一题5设a，b，c为正数，且abc1，求证：222.【证明】左边(121212)(19)2，原结论成立1已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_【解析】a，b，m，nr，且ab1，mn2，(ambn)(bman)abm2a2mnb2mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a2b22ab)2(ab)22，当且仅当mn时，取“”所求最小值为2.【答案】22设x，y，zr，且满足：x2y2z21，x2y3z，则xyz_.【解析】由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，即(x2y3z)214，因此x2y3z.因为x2y3z，所以x，解得x，y，z，于是xyz.【答案】3已知a，b，cr，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_【解析】a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号【答案】124设常数a0.若9xa1对一切正实数x成立，则a的取值范围为_【解析】由题意可知，当x0时，f(x)9x26aa1a，当且仅