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简化三角运算的方法湖南省岳阳市第十五中学 林英三角函数由于公式繁多，变化多样，因此解题时要对三角题的结构进行分析，以便选用适当方法，使复杂问题转化为简单问题，收到事半功倍的效果.1. 代数变换例1. 求函数的值域.分析：在三角函数问题中，若在一个函数式中同时出现与，可考虑设，则有，这样就可以把三角问题转化成以t为变量的函数问题.解：令，则，且，又知：，所以，所以，故所求函数的值域为：2. 整体代换例2. 已知，求的取值范围.分析：如果所涉及的三角问题中，已知式或待求式的结构类似，则可用整体代换的方法，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形代换.解：设，将已知式与待求式两边平方，得：所以 所以 ，即 所以 ，因为 所以 ，又 ，所以 即 3. 引入参数例3. 锐角，满足，求证：.分析：对于题中所涉及的三角式比较复杂时，可适当引入参数，架起已知通向未知的桥梁，常常可以简化运算过程.证明：已知等式，设，则，两式相加，得：所以 ，即 ，所以 因为 ，为锐角，所以 即 4. 平方变换例4. a，b是不相等的正数，求：的最大值和最小值.分析：有些三角习题（如含有根式）通过平方运算，可以避开直接解题带来的麻烦，使解题思路更明显，解法更巧妙.这是解三角习题的一个常用技巧.分析：因为y0，故使达到最大值（或最小值）的x值也使y达到最大值（或最小值）.因为ab，所以当，即时，y有最大值；当时，即时，y有最小值.5. 整体配对例5. 求的值.分析：将已知式视为一个整体，然后采用整体代换的方式，构造一个对偶式，可使问题化难为易、化繁为简.解：设，则由倍角公式，得：即显然，B0，由，得即 6. 角度变换例6. 已知，求的值.分析：有些三角问题中，往往要进行角之间的变换，将角进行合理的组合，根据解题的需要“化异为同”，这是解答三角问题的一种解题技巧，掌握这一技巧，可给一些三角问题带来比较简捷的解答.解：因为所以又，所以由，知故7. 用不等证相等例7. 设锐角、满足等式，求证：.分析：要证明AB，可以通过否定AB与AB而达到.证明：将已知式改写为因为，为锐角，所以只有以下三种情况：（1）；（2）；（3）第（1）种情况将导致矛盾：第（2）种情况也将导致矛盾：所以 ，又，得8. 构造模型例8. 求sin220cos280sin20cos80的值.分析：根据问题的特点构造出相应的模型，然后将需要解决的问题纳入模型的范畴，并利用模型的知识去解决问题，本题的结构与余弦定理相似.解：原式sin220sin2102sin20sin10cos150，2010150180，构造模型ABC，20、10、150看作这个三角形的三个内角，设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2b22abcos150c2（），而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10，c2sin
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