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综合练习一1、 设证明：（i）（ii）（iii）2、 设是任意2n个复数，证明复数形式的Lagrange恒等式： ,并由此推出Cauchy不等式：不等式中等号成立的条件是什么？3、设是任意n个复数，证明必有的子集E使得4、设无穷三角阵满足 （i）对任意固定的，存在； （ii）存在； （iii）证明：若复数列收敛，则存在。5、证明：若即是开集又是闭集，则或6、设是非空点集，。若对于中的任意两个点，存在中的有限个点使得成立，则称为连通的。证明：紧集连通的充要条件是，对任意它都是连通的。举例说明将紧集改为闭集后结论不再成立。7、设是中的域，在中不取零值。证明：对任意有 8、设是中的域，。证明： 特别地，当时，有 9、设在上全纯，并且证明10、设如果存在，使得那么11、证明是的单叶性域，并求出。12、求一单叶全纯映射，把和的外部除去线段所成的域映为上半平面。13、设证明：（i）（ii）14、设是中的调和函数，证明： 15、（Schwarz积分公式）设证明：16、设是域上的连续函数，如果对于任意边界和内部都位于中的弓形域，总有，那么是上的全纯函数。如果把弓形域换成圆盘，结论是否仍然成立？17、证明：幂级数在域上一致收敛，当且仅当它在上一致收敛。18、设幂级数的收敛半径为1，证明：若并且存在，则收敛于。19、设的收敛半径证明： （i） （ii）20、设在上全纯，并且证明： （i） （ii） （
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