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专题十七 应用题（1） 【典题导引】例1. 某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为个单位的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，其中当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）且不高于（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂质量为,试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为，为了使在天（从投放药剂算起包括第天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.解：（1）由题设：投放的药剂质量为，自来水达到有效净化或或，即. 即如果投放的药剂质量为，自来水达到有效净化一共可持续6天； （2）由题设：， ，且， 且，即投放的药剂质量的取值范围为.例2. 为营造优美的环境，某单位决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉如图，该花坛的边界是两个半径为米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，均在圆弧上，于点设，求矩形的宽为多少时，可使喷泉的面积最大；（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中，米若，求喷泉的面积的取值范围O1O2MBACD观 赏 长 廊N例2图乙MBACDO1例2图甲O2解:（1）在直角中，则，矩形的面积，令，则，令，得设，且，列表如下：0极大值当，即时，矩形的面积最大（2）由（1）易得，喷泉的面积，由知，函数是单调增函数，喷泉的面积的取值范围是（单位：平方米）例3.某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示设正三棱锥的底面边长为，体积为（1）求关于的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时例3图的值解:（1）正三棱锥展开如图所示当按照底边包装时体积最大 设正三棱锥侧面的高为，高为由题意得：，解得 例3答案图则， 正三棱锥体积（2）设， 求导得，令，得， 当时，随着的增加而增大, 当时，随着的增加而减小， 当时，取得极大值也是最大值，此时 即当底面边长为8cm时，正三棱锥的最大体积为32cm3例4. 如图，一块弓形薄铁片，点为的中点，其所在圆的半径为(圆心 在弓形内)，将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 (不计损耗)， ，且点、在上，设 （1）求矩形铁片的面积关于的函数关系式；M例4答案图 （2）当矩形铁片的面积最大时，求的值M例4答案图例4图MFOE解：（1）设矩形铁片的面积为，当时（如图），当时（如图）， 故综上得，矩形铁片的面积关于的函数关系式为（2）当时，求导，得令，得记区间内余弦值等于的角为（唯一存在）列表：0极大值又当时，在上是单调减函数， 当，即时，矩形的面积最大【归类总结】解决函数实际应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景；然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解解函数应用题的四步曲：（1）阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；（2）数学建模：弄清题目