北师大版选修44 参数方程 课件（59张） .ppt

第二课参数方程 网络体系 核心速填 1 参数方程的定义在给定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组 所确定的点m x y 都在这条曲线上 那么方程组 就叫做这条曲线的 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数 也可以是没有明显意义的变数 参数方程 2 常见曲线的参数方程 1 直线 直线的标准参数方程即过定点m0 x0 y0 倾斜角为 的直线l的参数方程的标准形式为 t为参数 2 圆 圆x2 y2 r2的参数方程为 为参数 圆 x a 2 y b 2 r2的参数方程为 为参数 3 椭圆 中心在原点 对称轴为坐标轴的椭圆b2x2 a2y2 a2b2的参数方程为 为参数 4 双曲线 中心在原点 对称轴为坐标轴的双曲线b2x2 a2y2 a2b2的参数方程为 为参数 5 抛物线 抛物线y2 2px p 0 的参数方程为 为参数 或 t为参数 易错警示 1 直线的标准参数方程为 t为参数 参数t的几何意义 即t为有向线段的数量 并注意t的正负值 参数t的几何意义中有如下常用结论 i 若m1 m2为直线上任意两点 m1 m2对应t的值分别为t1 t2 则 m1m2 t1 t2 ii 若m0为m1m2的中点 则有t1 t2 0 iii 弦m1m2的中点为m 则m0m tm 2 直线的参数方程的一般式 t为参数 只有当a2 b2 1且b 0时 具有上述几何意义 若b0时 参数方程同样具有上述几何意义 3 应用上述公式解题时 一定要区分直线的参数方程是否为标准形式 以免出现错误 类型一参数方程化为普通方程 典例1 把下列参数方程化成普通方程 1 为参数 2 t为参数 a b 0 解析 1 由所以5x2 4xy 17y2 81 0 2 由题意 得所以 2 2得所以 1 其中x 0 方法技巧 参数方程化为普通方程的注意事项 1 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围 注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定 2 消除参数的常用方法有 代入消参法 三角消参法 根据参数方程的特征 采用特殊的消参手段 变式训练 1 抛物线 t为参数 的准线方程是 a x 1b x 1c y 1d y 1 解析 选d 化参数方程为直角坐标方程 得x2 4y 其准线方程为y 1 2 判断方程 是参数且 0 表示的曲线的形状 解析 两式平方相减得x2 y2 4 因为 0 所以x sin 2 y sin 0 所以方程表示的曲线是等轴双曲线 1的右支在x轴及其下方的部分 类型二直线与圆的参数方程的应用 典例2 2016 沈阳高二检测 在直角坐标系xoy中 曲线c的参数方程为 为参数 在以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 直线l的极坐标方程为 1 求曲线c与直线l在该直角坐标系下的普通方程 2 动点a在曲线c上 动点b在直线l上 定点p 1 1 求 pb ab 的最小值 解题指南 1 利用sin2 cos2 1消去参数 可得曲线c的普通方程 根据即可得直线l在该直角坐标系下的普通方程 2 作点p关于直线的对称点q 利用 pb ab qb ab qc 1 仅当q b a c四点共线时 且a在b c之间时等号成立 可求得最小值 解析 1 由曲线c的参数方程可得 x 2 2 y2 1 由直线l的极坐标方程为可得 sin cos 4 即x y 4 2 方法一 设p关于直线l的对称点为q a b 故所以q 3 5 由 1 知曲线c为圆 圆心c 2 0 半径r 1 pb ab qb ab qc 1 仅当q b a c四点共线时 且a在b c之间时等号成立 故 pb ab min 1 方法二 如图 圆心c关于直线l的对称点为d 4 2 连接pd 交直线l于点b pb ab pb bc 1 pb bd 1 pd 1 1 延伸探究 若本例的条件不变 圆心为c 如何在直线l上求一点b 使 pb bc 取得最小值 求出最小值 解析 如典例中的解析图可知 圆心c关于直线的对称点为d 4 2 连接pd 交直线l于点b pb bc pb bd pd 求得b的坐标为 方法技巧 几何性质在求最大值或最小值中的应用 1 关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值求法 常常利用对称性以及两点之间线段最短解决 2 有关点与圆 直线与圆的最大值或最小值问题 常常转化为经过圆心的直线 圆心到直线的距离等 变式训练 1 2016 成都高二检测 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点o处 极轴与x轴的正半轴重合 曲线c的参数方程为 为参数 直线l的极坐标方程是 cos 2sin 15 若点p q分别是曲线c和直线l上的动点 则p q两点之间距离的最小值是 解析 选c 曲线c的参数方程为 为参数 的普通方程为 1 直线l cos 2sin 15的直角坐标方程是x 2y 15 0 因为点p q分别是曲线c和直线l上的动点 设p 3cos 2sin p到直线的距离为d 2 2016 黄石高二检测 已知曲线c的极坐标方程是 2sin 直线l的参数方程是 t为参数 1 将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程 2 设直线l与x轴的交点是m n是曲线c上一动点 求 mn 的最大值 解题指南 1 利用公式将极坐标方程化为直角坐标方程 2 将直线的参数方程化为普通方程 利用几何性质计算最大值 解析 1 曲线c的极坐标方程可化为 2 2 sin 又x2 y2 2 x cos y sin 所以曲线c的直角坐标方程为x2 y2 2y 0 2 将直线l的参数方程化为直角坐标方程 得y x 2 令y 0 得x 2 即m点的坐标为 2 0 又曲线c为圆 圆c的圆心坐标为 0 1 半径r 1 则 mc 所以 mn mc r 1 所以 mn 的最大值为 1 类型三直线与圆锥曲线的综合题 典例3 求椭圆 1上的点到直线l x 2y 10 0的最小距离及相应的点p的坐标 解析 设椭圆 1上的点p 2cos sin p到直线l x 2y 10 0的距离为d 当且仅当sin 1 即 时取等号 最小距离为此时点p 2cos sin 即p为所求 方法技巧 椭圆的参数方程以及应用长半轴为a 短半轴为b 中心在原点的椭圆 1 a b 0 的参数方程为 为参数 椭圆的参数方程在计算最大值 最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用 通常将上述问题转化为三角函数的性质加以解决 变式训练 1 2016 全国卷 在直角坐标系xoy中 圆c的方程为 x 6 2 y2 25 1 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求c的极坐标方程 2 直线l的参数方程是 t为参数 l与c交于a b两点 ab 求l的斜率 解析 1 整理圆的方程得x2 y2 12x 11 0 由可知圆c的极坐标方程为 2 12 cos 11 0 2 由题意可得直线过原点且斜率存在 记直线的斜率为k 则直线的方程为kx y 0 由垂径定理及点到直线距离公式知 即整理得k2 则k 2 2016 临汾高二检测 在平面直角坐标系xoy中 曲线c的参数方程为 t为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的极坐标方程为3 cos 2 sin 12 1 求曲线c的普通方程和直线l的直角坐标方程 2 若直线l与曲线c交于a b两点 m为曲线c与y轴负半轴的交点 求四边形omab的面积 解析 1 由所以 cost 2 sint 2 1 所以曲线c的普通方程为在3 cos 2 sin 12中 由 cos x sin y得3x 2y 12 0 所以直线l的直角坐标方程为3x 2y 12 0 2 由 1 可得m 0 2 联立方程易得a 4 0 b 2 3 所以四边形omab的面积为 4 3 2 6 4 类型四用参数法求轨迹方程 典例4 过点p 2 4 作两条互相垂直的直线l1 l2 若l1交x轴于a点 l2交y轴于b点 求线段ab的中点m的轨迹方程 解析 设m x y 设直线l1的方程为y 4 k x 2 k 0 由l1 l2 则直线l2的方程为y 4 x 2 所以l1与x轴交点a的坐标为l2与y轴交点b的坐标为 因为m为ab的中点 所以 k为参数 消去参数k 得x 2y 5 0 另外 当k 0时 l1与x轴无交点 当k不存在时 ab中点为m 1 2 满足上述轨迹方程 综上所述 m的轨迹方程为x 2y 5 0 方法技巧 建立参数求动点轨迹方程的方法步骤 1 首先根据运动系统的运动规律设参数 然后运用这些参数列式 再从这些式子中消参 最后讨论轨迹的纯粹性和完备性 2 参数法求轨迹方程的关键是设参数 参数不同 整个思维和运算过程不同 若设参数不当 则会增大运算量 3 用参数法求解时 一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量 如时间 速度 距离 角度 有向线段的数量 直线的斜率 点的横 纵坐标等 也可以没有具体的意义 选定参变量还要特别注意参数的取值范围 变式训练 1 动圆x2 y2 2axcos 2bysin 0 a b是正常数 a b 是参数 的圆心的轨迹是 a 直线b 圆c 椭圆d 双曲线 解析 选c 动圆x2 y2 2axcos 2bysin 0 a b是正