2.4抛物线的简单几何性质学案（苏教版选修2-1）.doc

学科：数学教学内容：抛物线的简单几何性质【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：图形标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点坐标(,0)(- ,0)(0, )(0，-)准线方程x=-x=y=-y=范围x0x0y0y0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0，0)(0，0)(0，0)(0，0)离心率e=1e=1e=1e=1焦半径PF=x0+PF=-x0PF=+y0PF=-y0参数p的几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点(x0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析 设方程为y2=2px(p0)或y2=-2px(p0)则 x0+=17或-x0=17即 x0=17-或x0=-17将(17-，-8)代入y2=2px解得 p=2或p=32将(-17，-8)代入y2=-2px解得 p=2或p=32所求抛物线方程为y2=4x或y2=64x.例2 求抛物线y2=4x中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.分析 本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设AB是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点M(x,y)由得：y=1代入y2=4x得x=轨迹方程为y=1(x)例3 设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点.已知OAOB，OMAB于M，求点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线.分析 设A(4pt21,4pt1)，B(4pt22,4pt2)，OA、OB的斜率分别为kOA、kOB则 kOA=,kOB=由OAOB，得kOAkOB=-1t1t2=-1点A在AB上，得直线AB的方程为y-4pt1= (x-4pt21)由OMAB，得直线OM方程为y=-(t1+t2)x设点M(x,y),则x,y满足两式将化为：y(t1+t2)=x+4pt1t2=x-4p由得：x2+y2-4px=0A、B是原点以外的两点x0点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】例1 已知抛物线y2=2px上两点A、B，BCx轴交抛物线于C，AC交x轴于E，BA延长交x轴于D，求证：O为DE中点.分析 只需证出D、E两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt21,2pt1)，B(2pt22,2pt2)则C(2pt22,-2pt2)AC：y-2pt1=(x-2pt21)令y=0,得xD=2pt1t2BA：y-2pt1= (x-2pt21)令y=0,得xE=-2pt1t2xD+xE=0即O为DE中点.例2 设抛物线过定点A(0，2)且以x轴为准线.()试求抛物线顶点M的轨迹C的方程；()如果点P(a,1)不在线段y=1(-2x2)上，那么当a取何值时，过P点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点?分析 ()设抛物线顶点M(x,y)，y0，则其焦点为F(x,2y).据抛物线定义有=2即 +(y-1)2=1(y0)抛物线顶点M的轨迹C的方程是+(y-1)2=1(y0)()过P点的直线可设为l:y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C上，则消去y，得x2+4k2(x-a)2=4即(1+4k2)x2-8k2ax+4(k2a2-1)=0=16k2(4-a2)+1过点P存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k的不等式组有解点P不在直线y=1(-2x2)上，a2，4-a20.上不等式组可化为a2-4解a25又a2,2a 即a(-,-2)(2, )【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】例1 抛物线y=x2的弦AB保持与圆x2+y2=1相切移动，求过A、B的抛物线的切线交点的轨迹方程.分析一 如图，设抛物线弦AB与圆x2+y2=1相切于P(x0,y0),则过P点的圆的切线方程为x0x+y0y=1.由得y0x2+x0x-1=0设A的坐标为(x1,x21),B(x2,x22)，由韦达定理，得x1+x2=-,x1x2=-又过A、B两点的抛物线的切线方程分别为y+x12=2x1x,y+x22=2x2x，则两切线交点Q(x,y)是方程组 -得x21-x22=2(x1-x2)x. 2x=x1+x2=- x2-x1得(x2-x1)y+x1x2(x1-x2)=0y=x1x2=- 由、得x0=,y0=- P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，()2+(-)2=1即 y2-4x2=1,这是双曲线.由条件知，所求轨迹是焦点在y轴上，a=1、b=的双曲线的下支的一部分.分析二 设抛物线的弦AB与圆切于点P(x0,y0)，则过P点的圆的切线AB的方程为 x0x+y0y=1 设过A、B两点的抛物线切线交点为Q(，)则AB为抛物线的切点弦，其方程为 y+=2x 由、表示同一直线，于是有=x0= y0=-P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，()2+(-)2=1,即2-42=1,故 y2-4x2=1(xR,y0)例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式Pf(t)；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Qg(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)解：(1)f(t)g(t) (t-150)2+100,0t300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)f(t)-g(t),即h(t)当0t200时，配方整理得h(t)-(t-50)2+100,所以，当t50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值100，此时t50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【同步达纲练习】A级一、选择题1.若A是定直线l外的一定点，则过A且与l相切圆的圆心轨迹是( )A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是( )A.2.5B.5C.7.5D.103.已知原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x4.过抛物线y2=2px(p0)的焦点且垂直于x轴的弦AB，O为抛物线顶点，则AOB( )A.小于90B.等于90C.大于90D.不能确定5.以抛物线y2=2px(p0)的焦半径PF为直径的圆与y轴位置关系为( )A.相交B.相离C.相切D.不确定二、填空题6.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .7.若以曲线+=1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A、B两点，则AB= .8.若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为，则此抛物线的方程是 .三、解答题9.抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，-1)作直线l交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FABR，试求动点R的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD，它的对角线AC在直线x+y-2=0上，顶点B、D在抛物线y2=4x上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.AA级一、选择题1.经过抛物线y2=2px(p0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( )A.pB.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB的中点横坐标为2，则AB为( )A.B.4C.2D.3.曲线2x2-5xy+2y2=1( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x对称D.关于直线y=x对称也关于直线y=-x对称4.若抛物线y2=2px(p0)的弦PQ的中点为(x0,y0)(y0)，则弦PQ的斜率为( )A.-B.C.px-D.-px05.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则的值一定等于( )A.4B.-4C.p2D.-p2二、填空题6.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 .7.以椭圆+y2=1的右焦点F为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A，则AF= .8.若OAB为正三角形，O为坐标原点，A、B两点在抛物线y2=2px上，则OAB的周长为 .三、解答题9.抛物线y=-与过点M(0，-1)的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB斜率之和为1，求直线l的方程.10.已知半圆的直径为2r，AB为直径，半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，且TA=2a(2a),半圆上有M、N两点，它们与直线l的距离MP、NQ满足条件MP=AM,NQ=AN，求证：AM+AN=AB.【素质优化训练】一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y2=4x有唯一公共点的直线的条数为( )A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax2(a0)与直线y=kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是( )A.x3=x1+x2B.x3=+C.x1x2=x2x3+x3x1D.x1x3=x2x3+x1x23.当0k时，关于x的方程=kx的实根的个数是( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B、C，则ABC是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，则实数b的值等于( )A.-1 B.1 C.7 D.9二、填空题6.抛物线y2=-8x被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为 .7.已知抛物线y2=2x的弦过定点(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是 .8.已知过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB被F分成长度为m、n的两部分，则+= .三、解答题9.已知圆C过定点A(0，p)(p0)，圆心C在抛物线x2=2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设AM=m,AN=n，MAN=.(1)当点C运动时，MN是否变化?写出并证明你的结论?(2)求+的最大值，并求取得最大值时的值和此时圆C的方程.10.已知抛物线y2=4ax(0a1)的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，AF为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点，()求MF+NF的值；()是否存在这样的a值，使MF、PF、NF成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x0,y0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P为中点的抛物线y2=2px(p0)的中点弦方程为yy0-p(x+x0)=y20-2px0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y2=2px上点的切线方程有什么联系?若P(x0,y0)为非对称中心，将抛物线y2=2px换成椭圆+=1或双曲线-=1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径.以OA所在直线为y轴，过O点作oy轴的垂直线ox轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x轴正向交点为C，OC即圆型水池的半径.设抛物线ABC的方程为(x-1)2=-2p(y-2.25)将A(0，1.25)代入求得p=抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25)令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=-的最大值.解：将函数变形为y=-，由几何意义知，y可以看成在抛物线f(x)=x2上的点P(x,x2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，PA-PBAB，当P、A、B三点共线，且P在B的左方时取等号，此时P点为AB与抛物线的交点，即P为(，)时，ymax=AB=.2.参与设计小花园的喷水池活动.要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F是抛物线的焦点，M是抛物线上任意一点，MT是抛物线在M的切线，MN是法线，ME是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN必平分FME，即1=2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y2=2px.(p0)，因为ME平行x轴(抛物线的轴)，1=2,只要证明1=3，也就是FMN的两边FM和FN相等.设点M的坐标为(x0,y0)，则法线MN的方程是y-y0=-(x-x0),令y=0，便得到法线与x轴的交点N的坐标(x0+p,0)，所以FN=x0+p-=x0+,又由抛物线的定义可知，MF=x0+,FN=FM,由此得到1=2=3，若M与顶点O重合，则法线为x轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料：圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案:【同步达纲练习】A级1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.(x-)2+(y1)2=1 7. 8.y2=12x或y2=-4x9.解：设R(x,y),F(0,1),平行四边形FARB的中心为C(,),l:y=kx-1,代入抛物线方程，得x2-4kx+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k2-160，即|k|1 ，y1+y2=4k2-2,C为AB的中点.消去k得x2=4(y+3),由得，x4，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)(x4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD：y=x+b,代入抛物线方程得x2+(2b-4)x+b2=0,=(2b-4)2-4b2=16-16b0,b1, ，设B(x1,y1),D(x2,y2),BD中点M(x0,y0),则x1+x2=4-2b,x0=2-b,y0=x0+b=2,M在AC直线上，(2-b)+2-2=0，b=2与相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA级1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.2 7.9-18 8.12p9.解：设l:y=kx-1,代入y=-,得x2+2kx-2=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-2k,x1x2=-2,又+=+=2k-=2k-=k=1，直线l的方程为y=x-1.10.证明：由MP=AM,NQ=AN知M、N在以l准，A为焦