2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---数列解答题一.doc

精编习题2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编数列三、解答题1.已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3.（1）令求证数列是等比数列; （2）求数列 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。解：（I）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知， 将以上各式相加得： （III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列.解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，又 当且仅当时，数列是等差数列.2.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，数列对任意正整数n，均有：成立，又。（）求数列的通项公式及前n项和；（）在数列中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，第项，组成一个新数列，求数列的前n项和；（）当时，比较与的大小。解：（I）设公比为 代入得即 ，是等差数列 =2 （） （3） 时，时，猜测时， 用数学归纳法证明如下（1）时，（已证）（2）假设时不等式成立，即 时，又即时，不等式成立。由（1）（2）知，当时， 3.已知数列的前项和和通项满足.（）求数列的通项公式； () 求证：；（）设函数，求.解：（）当时 ，由得数列是首项、公比为的等比数列，()证法1： 由得 ，证法2：由（）知， ， 即() 4.已知等差数列的首项，公差，前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）求证：解：（1）等差数列中，公差 （2） 5.如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .() 写出；yxOA0P1P2P3A1A2A3()求出点的横坐标关于的表达式；()设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：() .()依题意，则，在正三角形中，有 .， ， 同理可得 . -并变形得 ， ， . 数列是以为首项，公差为的等差数列. ，. ()解法1 ：， . .当时，上式恒为负值， 当时，数列是递减数列. 的最大值为. 若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立. 设，则且， 解之，得 或， 即的取值范围是.解法2：， 设，则 .当时，在是增函数. 数列是递减数列. 的最大值为. 6.已知数列的前项和,（）求数列的通项公式；（）设,且，求.解：（）Sn=n2+2n 当时，当n=1时，a1=S1=3， ,满足上式， 故 （）, 7.已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数.（1）用表示；（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（3）若数列的前项和，记数列的前项和，求。解：（1）由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为，即令，得，即由题意得，所以 （2）因为，所以即，所以数列为等比数列故 （3）当时，当时，所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为 的 得 故 8.定义一种运算*，满足（为非零实常数）（1）对任意给定的k，设，求证数列是等差数列，并求k=2时，该数列的前10项和；（2）对任意给定的n，设，求证数列是等比数列，并求出此时该数列前10项的和；（3）设，试求数列的前n项和.解：（1） ，又 所以，所以, 所以数列是公差为的等差数列当时，所以（2） ，又 故数列是公比为的等比数列当时， 当时，（3） ，而 所以当时，当时，得 所以9.已知数列的前n项和为，且，（n=1，2，3）数列中，点在直线上。（1）求数列和的通项公式；（2）记，求满足的最大正整数n。解：（1） 当时，即 即数列是等比数列 即 点在直线上 即数列是等差数列，又 （2） 得即 即 于是又由于当时，, 当时，故满足条件最大的正整数n为410.在等差数列中，首项，数列满足（I）求数列的通项公式； （II）求解：（1）设等差数列的公差为d， ，由，解得d=1. （2）由（1）得设，则两式相减得.11.已知等差数列的前项和为（1）求q的值；（2）若与的等差中项为18，满足，求数列的前项和.【解】 (1) ：当时，当时,.是等差数列, , (2)解：, 又, 又得.,即是等比数列所以数列的前项和12.数列的前项和记为，（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的前项和有最大值，且，又成等比数列，求解：（1）由，可得，两式相减得，又，故是首项为1，公比为3的等比数列，（2）设的公差为，由得，于是，故可设，又，由题意可得，解得，等差数列的前项和有最大值，13.设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列 （1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和 解：（1）由已知得 解得设数列的公比为，由，可得又，可知，即，解得 由题意得 故数列的通项为 （2）由于 由（1）得 =14.已知数列的前项和为，. （）证明：数列是等比数列； （）设求使不等式 成立的正整数 的取值范围.解：（I）由，则.两式相减得. 即.又时，.数列是首项为4，公比为2的等比数列.（）由（I）知. 当为偶数时，原不等式可化为，即. 故不存在合条件的.当为奇数时，.原不等式可化为，所以，又m为奇数，所以m=1,3,515.设数列的前项和为，点在直线上，为常数，()求；（）若数列的公比,数列满足，求证：为等差数列，并求；（III）设数列满足，为数列的前项和，且存在实数满足，求的最大值解：（）由题设， 由，时， 得， （）由（）知 化简得： 为等差数列， （III）由（）知 为数列的前项和，因为，所以是递增的， 所以要满足， 所以的最大值是16.数列 （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）解：（1）由题意知：是等比数列（2）由（1）知数列以是a2a1=3为首项，以2为公比的等比数列，所以 故a2a1=320，所以a3a2=321，a4a3=322，所以（3） 17.我们用部分自然数构造如下的数表：用（i、j为正整数），使；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和（第一、二行除外，如图），设第n（n为正整数）行中各数之和为b。 （1）试写出的关系（无需证明）； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由。解：（1）；可见：；， 2分猜测：（或或） 4分 （2）由（1） ， 所以是以为首项，为公比的等比数列，即 （3）若数列中存在不同的三项恰好成等差数列，不妨设，显然，是递增数列，则 即，于是由且知，等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列. 18.已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且，公比； （1）求 （2）设，求数列的前n项和。【解】（）依题意得（）又19.已知数列（I）求数列的通项公式；（II）设Tn为数列，求m的最小值。【解】（I）由题意知 （II） 的最小值为10。20.设数列an的各项都是正数，且对任意nN*,都有a13a23a33an3Sn2，其中Sn为数例an的前n项和（1）求证：an22Snan；（2）求数列an的通项公式；（3）设bn3n（1）n12an（为非零整数，nN*），试确定的值，使得对任意nN*,都有bn1bn成立解：（1）由已知，当n1时，a13a12, 又a10,a11当n2时，a13a23a33an3Sn2 a13a23a33an13Sn12由得，an3（SnSn1）（SnSa1）（SaSa1）an（SnSn1）an0,an2SnSn1, 又Sn1Saaa,an22Snan当n1时，a11适合上式 an22Snan（2）由（1）知，an22Snan, 当n2时，an122Sn1an1,由得，an2an122（SnSn1）anan1anan1anan10,anan11,数列an是等差数列，首项为1，公差为1 ann（3）ann,bn3n（1）n12n 要使bn1bn恒成立，bn1bn3n13n（1）n2n1（1）n12n23n3（1）n12n0恒成立，即（1）n1（）n1恒成立。当n为奇数时，即（）n1恒成立又（）n1的最小值为1（）恒成立，又（）n1的最大值为，即1，又0，为整数，1，使得对任意nN*,都有bn12，给定数列求证：（1），且 （2）如果。证明：（1）使用数学归纳法证明 当n=1时，假设当时命题成立，即当 即 综上对一切当2时， （2）因为2，所以故由此可得52.已知数列的前项和为，点在直线上，其中.令，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和解：（1），. （）.（）. （）.（）.数列等比，公比，首项，而，且，. . .（2）， 2. -得 -，. 53.设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项（1）求数列的通项公式； （2）在集合，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；解：（1）由题意得， ， 当时，解得，当时，有 ，式减去式得，于是，因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以的通项公式为（）（2）设存在满足条件的正整数，则，又，所以，均满足条件，它们组成首项为，公差为的等差数列设共有个满足条件的正整数，则，解得所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为（3）设，即，（15分），则，其极限存在，且注：（为非零常数），（为非零常数），（为非零常数，）等都能使存在按学生给出的答案酌情给分，写出数列正确通项公式的得3分，求出极限再得3分54.观察数列：；正整数依次被4除所得余数构成的数列；(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列，如果_，对于一切正整数都满足_成立，则称数列是以为周期的周期数列；(2)若数列满足为的前项和，且，证明为周期数列，并求； (3)若数列的首项，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论.解：(1) 存在正整数；(2)证明：由 所以数列是以为周期的周期数由于是 又所以，(3)当=0时，是周期数列，因为此时为常数列，所以对任意给定的正整数及任意正整数，都有，符合周期数列的定义.当时，是递增数列，不是周期数列.下面用数学归纳法进行证明：当时，因为所以，且 所以假设当n=k时，结论成立，即，则即 所以当n=k+1时，结论也成立.根据、可知，是递增数列，不是周期数列.55.如图是一个具有行列的数表，第一行是首项为，公比为的等比数列，第一列是首项为，公差为的等差数列，其它空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写。设表示第行第列的数.1qq2qn-11+d1+2d1+(n-1)d (1)求的表达式；(2)第二行能否构成等比数列？若能，求出满足的条件；若不能，请说明理由.(3)请根据这张数表提出一个与问题(2)相类似的问题，并加以研究和解决(根据所提问题的难度及解答情况评分).解：() ()若成等比数列，则成等比数列，整理，得此时， ，成等比数列，此时，()(以下根据提出问题的难易及解答情况给分)问题：第2行能否成等差数列？研究：若成等差数列，则成等差数列，解得，此时，=，成等差数列，此时，问题：第2列能否成等差数列？研究略；问题：第2列能否成等比数列？问题：第3行能否成等差数列？56.已知二次函数对任意满足，且图像经过点及坐标原点.（1）求函数的解析式；（2）设数列前项和，求数列的通项公式；(3）对(2)中，设为数列前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.解：() () ()，设存在满足条件的. 当，解得. 当,解得. 猜想：.下面用数学归纳法证明：证明：(1)当时，由上述可知，结论成立，(2)假设当时，结论成立，即成立， 则时，左边= 即时，结论也成立；根据(1)(2)可知，对时，结论成立. 因此，存在满足条件.57.已知：.若数列使得成等差数列.(1)求数列的通项；(2)设，若的前项和为，求.解:(1) (2) ，-，整理，得58.设数列的图象上。 （1）求的表达式； （2）设使得不等式 都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）将数列依次按1项，2项循环地分为，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为的值； （4）如果将数列依次按1项，2项，3项，项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，提出同（3）类似的问题（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？解：（1） （2） 设 故 要使不等式（3）数列依次按1项， 2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），每一次循环记为一组。由于每一个循环含有2个括号，故b100是第50组中第2个括号内各数之和。由分组规律知，的等差数列。所以 （4）当n是m的整数倍时，求的值。数列依次按1项、2项、3项，m项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），第m组，第2m组，第组的第1个 数，第2个数，第m个数分别组成一个等差数列，其首项分别为则第m组、第2m组，第km组，的各数之和也组成一个等差数列，其公差为 第m组的m个数之和为 当58.已知数列的前项和为，且（为正整数）.（1）求数列的通项公式；（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值. 解 （1）， 当时，. 由 - ，得. . 又 ，解得 . 数列是首项为1，公比为的等比数列. （为正整数）. （2）由（1）知，. 由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得 . 数列单调递增， 当时，数列中的最小项为， 必有，即实数的最大值为.59.如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的正方形，其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）. 设是首项为，公差为的等差数列，点的坐标为.（1）当时，证明：顶点不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；（3）为使所有顶点均落在抛物线上，求与之间所应满足的关系式. 证明（1）由题意可知， . ， 顶点不在同一条直线上. （2）由题意可知，顶点的横坐标， 顶点的纵坐标. 对任意正整数，点的坐标满足方程， 所有顶点均落在抛物线上.（3）解法一 由题意可知，顶点的横、纵坐标分别是 消去，可得 . 为使得所有顶点均落在抛物线上，则有 解之，得 . 所应满足的关系式是：.解法二 点的坐标为 点在抛物线上， . 又点的坐标为 且点也在抛物线上， ，把点代入抛物线方程，解得 . 因此， 抛物线方程为.又 所有顶点落在抛物线上. 所应满足的关系式是：. 60.在数列中，对任意，有，且，在个1与第个l之间恰有个2，即1，2，1，2，2，1， (1)第10个1是的第几项?第个1呢? (2)求 (3)设表示的前项和，是否存在正整数，使或若存在，求的值，若不存在，请说明理由解：（1）在第10个1之前有1+2+29-1=511个2.所以第10个1是511+10=521项 61.设数列的各项都是正数， ， .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）求证： .解：由条件得： 为等比数列 由 得 又 （或由即），为递增数列. 从而 62.各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有 （1） 求常数的值；（2） 求数列的通项公式；记；（3）求数列的前项和解：（1）由及，得： （2）由 得 由，得 即： 由于数列各项均为正数， 即 数列是首项为，公差为的等差数列， 数列的通项公式是 （3）由，得： 63.已知数列的前项和为，且（为正整数）.（1）求数列的通项公式；（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.解 （1）， 当时，. 由 - ，得. . 又 ，解得 . 数列是首项为1，公比为的等比数列. （为正整数）. （2）由（1）知，. 由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得 . 数列单调递增， 当时，数列中的最小项为， 必有，即实数的最大值为. 64.已知数列 （1）求数列的通项公式； （2）求证数列是等比数列； （3）求使得的集合。解：（1）设数列由题意得：解得： （2）依题， 为首项为2，公比为4的等比数列 （3）由65.已知数列满足，是数列的前项和，对任意，有. () 求的值； ()计算的值,并求数列的通项公式解：（）令得,又 得；() 令得,又,得,; 令得,又,得,; 由，得，两式相减，得，即，因为，所以，即，故是首项为1,公差为的等差数列,得66.已知公差大于零的等差数列的前n项和为Sn，且满足：，（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c；（3）若(2)中的的前n项和为，求证：解：（1）为等差数列，又， ，是方程的两个根又公差， （2）由(1)知， ， 是等差数列， （舍去）（3）由(2)得 ，时取等号 ，时取等号(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以67.已知数列的首项，前n项和.（）求证：; （）记，为的前n项和，求的值.解：（1）由，得， -得：.（2）由求得.，.68.设是函数的图象上满足下面条件的任意两点。若，则点的横坐标为。1. 求证：点的横坐标为定植；2. 若求已知，(其中),又知为数列a的前项和，若对于一切都成立，试求的取值范围。解：（1） M是AB中点，设M为（x，y） 由，得， 或 M点的纵坐标的定值为 （2）由（1）知， 则， ， ， 上述两式相加，得 （3）当n=1时，由，得，得。 当时， 由，得， ，（当且仅当n=2时，=成立） 。综上所述，若对一切都有成立，由于，所以 14分69.等差数列中，为方程的两根，前项和为等比数列的前项和（为常数）（I）求；（II）证明：对任意，；（III）证明：对任意，（I）解：由得， ， 为等比数列 = （II）证明：方程的两根为37，由知， 等差数列的公差 要证，只要证明 即下面用数学归纳法证明成立（i）当，2，3时，不等式显然成立，（ii）假设当（）时，不等式成立，即当+1时，即，此时不等式也成立由（i）（ii）知，对任意，成立所以，对任意，（III）证明：由（II）已证成立，两边取以3为底的对数得，70.设数列满足（I）求数列的通项；（II）设求数列的前项和.解：（I） 当时，将得 在中，令得（II）由得则当时，当时, 则又 71.已知数列项、公比都为q（q0且q1）的等比数列，. （1）当q=5时，求数列的前n项和Sn； （2）当时，若，求n的最小值.解：（1）由题得设（1）（2分）两式相减： （2），即取时，. 所求的最小自然数是1572.数列满足=a，=a（a0），且从第二项起是公差为6的等差数列，是（）的前n项和， （1）当n2时，用a与n表示与； （2）说在与两项中至少有一项是的最小值，试求a的取值范围； （3）若a为正整数，在（2）的条件下，设取为最小值的概率是，取为最小值的概率是，比较与的大小解：（1）由已知，当n2时，an=-a+6（n-2），即an=6n-（a+12）. Sn=a1+a2+a3+an=a+（n-1）（-a）+ =3n（a+9）n+2a+6 （2） 由已知，当n2时，an是等差数列，公差为6，数列递增. 若S6是Sn的最小值，则 a60 a70 即 24-a0 30-a0 24a30 若是的最小值;则 a70 a80 即 30-a0 36-a0 30a36 当S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值时，a的取值范围是24，36 （3）a是正整数，由（2）知，a为=24，25，26，36 当S6是Sn最小值时，a=24，25，26，27，28，29，30 当S7是Sn最小值时，a=30，31，32，33，34，35，36 P1=P2=73.已知正项数列的前n项和为的等比中项. （）求证：数列是等差数列； （）若，数列的前n项和为Tn，求Tn； （）在（）的条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由.解：（）由的等比中项，得当n = 1时，；当n2时，即，即 数列an是等差数列. （）数列an首项公差，通项公式为： 则 则 ，两边同乘以，得，得 ，解得 （），数列为等比数列的充要条件是，（A、q是不为0的常数）当且仅当，即时，数列为等比数列.74.设数列、满足，且. （）求数列的通项公式； （）对一切，证明成立； （）记数列、的前项和分别是、，证明：.解：（）由，得， 即数列是以为首项，以为公比的等比数列，（）,要证明，只需证明，即证，即证明成立. 构造函数， 则，当时，即在上单调递减，故.，即对一切都成立，.（），由（）可知， 利用错位相减求得： .75.已知数列an满足关系式，设 （1）求证：数列bn为等比数列； （2）求an及Sn； （3）设cn= Sn+nan，Tn为数列cn的前n项和，求证：Tn1.（1）证明：， 又由，数列bn是以为首项，以为公比的等比数列。 （2）由（1）知数列bn是以为首项，以为公比的等比数列，bn=，也合适，。（nN*） （3） 76.已知数列的首项，前n项和为Sn ，且(1)求数列的通项公式；(2)设函数，是函数的导函数，求 (1)解：由得： (n 1)两式相减得： (n 1) 即 (n 1) 又得：， 为等比数列故(2)解：8分令，则10分77