长沙市一中高二期中数学考试试卷.docx

长沙市一中高二年级期中数学考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样D. 分层抽样2. 下列说法正确的是( )A. 任何事件的概率总是在 0,1 之间B. 频率是客观存在的，与试验次数无关C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D. 概率是随机的，在试验前不能确定3. 如图，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 xA 和 xB，样本标准差分别为 sA 和 sB，则( )A. xAxB,sAsBB. xAsBC. xAxB,sAsBD. xAxB,sA0 的解集为 A. -,01,2B. 1,2C. -,1D. -,12,+6. 命题 p：若 x2-3x+20，则 x2 ，若 p 为原命题，则 p 的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知命题 p:aR，且 a0，a+1a2，命题 q:x0R，sinx0+cosx0=3，则下列判断正确的是 A. p 是假命题B. q 是真命题C. pq 是真命题D. pq 是真命题8. 如图，过抛物线 y2=2pxp0 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A 、 B，交其准线于点 C，若 BC=2BF，且 AF=3，则此抛物线的方程为( )A. y2=32xB. y2=3xC. y2=92xD. y2=9x9. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 A. 30B. 45C. 60D. 9010. 甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了 4 次，则第四次仍传回到甲的概率是 A. 727B. 527C. 78D. 216411. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB=2AD设 DAB=，0,2，以 A，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1，以 C，D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2，则( )A. 随着角度 的增大， e1 增大， e1e2 为定值B. 随着角度 的增大， e1 减小， e1e2 为定值C. 随着角度 的增大， e1 增大， e1e2 也增大D. 随着角度 的增大， e1 减小， e1e2 也减小12. 将长为 1 的小棒随机拆成 3 小段，则这 3 小段能构成三角形的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 15二、填空题（共4小题；共20分）13. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 40%现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，用 1,2,3,4 表示下雨，用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数：488932812458989431257390024556734113537569683907966191925271 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为 14. 如图，点 Fa,0a0，点 P 在 y 轴上运动，M 在 x 轴上运动，N 为动点，且 PMPF=0，PM+PN=0，则点 N 的轨迹方程为 15. 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 A 到平面 A1BD 的距离为 16. 给出如下命题：命题“在 ABC 中，若 A=B，则 sinA=sinB ”的逆命题为真命题；若动点 P 到两定点 F1-4,0，F24,0 的距离之和为 8，则动点 P 的轨迹为线段 F1F2；若 pq 为假命题，则 p，q 都是假命题； 设 xR，则“ x2-3x0 ”是“ x4 ”的必要不充分条件若实数 1，m，9 成等比数列，则圆锥曲线 x2m+y2=1 的离心率为 63；其中所有正确命题的序号是 三、解答题（共6小题；共70分）17. 设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0 若 a 是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数，b 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率 若 a 是从区间 0,3 任取的一个数，b 是从区间 0,2 任取的一个数，求上述方程有实根的概率18.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，以顶点 C 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60 求 CA1 的长；证明: CA1 平面 C1BD19. 已知 mR，设 p:x1 和 x2 是关于 x 的方程 x2-ax-2=0 的两个根，不等式 m-5x1-x2 对 a1,2 恒成立；q: 函数 fx=3x2+2mx+m+43 有两个不同的零点，求使“p 且 q”为真命题的实数 m 的取值范围20. 已知抛物线 的方程为y2=4x ，其焦点为 F 若 点M（1,1）求以 M 为中点的抛物线的弦所在的直线方程； 若互相垂直的直线 m,n 都经过抛物线 y2=4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点和C，D两点求四边形 ABCD 面积的最小值21. 如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC，EAEB求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值；线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面FBD ?若存在，求出 EFEA；若不存在，说明理由22. 如图，分别过椭圆 E:x2a2+y2b2=1ab0 左右焦点 F1 、 F2 的动直线 l1 、 l2 相交于 P 点，与椭圆 E 分别交于 A 、 B 与 C 、 D 不同四点，直线 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的斜率 k1 、 k2 、 k3 、 k4 满足 k1+k2=k3+k4已知 l1 与 x 轴重合时，AB=23，CD=433 求椭圆 E 的方程； 是否存在定点 M 、 N，使得 PM+PN 为定值若存在，求出 M、N 点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由答案第一部分1. D2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. B9. C10. A11. B12. C第二部分13. 0.3 14. y2=4ax 15. 33a 16. 第三部分17. （1） 设事件 A 为“方程 a2+2ax+b2=0 有实根当 a0，b0 时，方程 a2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 ab基本事件共 12 个：0,0，0,1，0,2，1,0，1,1，1,2，2,0，2,1，2,2，3,0，3,1，3,2其中第一数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值事件 A 中包含 9 个基本条件，事件 A 发生的概率为 PA=912=34（2） 试验的全部结束所构成的区域为 a,b0a3,0b2 构成事件 A 的区域为 a,b0a3,0b2,ab 所以所求的概率为 =32-122232=2318. （1） 记 CB=a，CD=b，CC1=c，则 a=b=c=1，a,b=b,c=c,a=60CA1=CB+CD+CC1=a+b+c，因此 CA12=a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1+1+1+2cos60+2cos60+2cos60=6.即 CA1=6(2) BD=b-a , DC1=c-b .所以同理， 所以 CA1 平面 C1BD19. 因为 x1 和 x2 是方程 x2-ax-2=0 的两个根，所以 x1+x2=a,x1x2=-2,则 x1-x22=x1+x22-4x1x2=a2+8由 a1,2，得 9x1-x2212，即 3x1-x223所以若满足题意，只需 m-53，解得 2m8，也就是 p 为真时，2m8又因为 q 为真时，有 2m2-43m+430，解得 m4因此，“p 且 q”为真时，m 的取值范围为 4m820. （1）因为点M在抛物线 y2=4x含焦点F的区域内，所以中点弦所在的直线存在。设所求直线交抛物线于设Px1,y1，Qx2,y2则所求直线方程为：（2）依题意知，直线m,n的斜率存在。设 直线m 的方程为 y=kx-1，与抛物线方程联立，得 y=k(x-1),y2=4x,消 y，整理得 k2x2-(2 k2+4)x+k2=0，其两根为 x3，x4，且 x3+x4=由抛物线的定义可知，AB=2+x3+x4=同理，CD=.所以四边形ABCD的面积当且仅当时取得最小值.21.（1） 因为平面 ABE 平面 ABCD，且 EOAB，平面 ABE 平面 ABCD=AB，所以 EO 平面 ABCD，所以 EOOD由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz因为三角形 EAB 为等腰直角三角形，所以 OA=OB=OD=OE，设 OB=1，所以 O0,0,0，A-1,0,0，B1,0,0，C1,1,0，D0,1,0，E0,0,1所以 EC=1,1,-1，平面 ABE 的一个法向量为 OD=0,1,0设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ，所以 sin=cos=ECODECOD=33，即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 33（2） 存在点 F，且 EFEA=13 时，有 EC平面FBD证明如下：假设 AE 上存在点 F，使得 EC平面BDF，连接 AC 交 BD 于点 M，连接 MF，则 ECMF，所以 EFFA=CMMA，由 ABCD，得 CMMA=CDAB=12其他证明方法：由 EF=13EA=-13,0,-13，F-13,0,23，所以 FB=43,0,-23设平面 FBD 的法向量为 v=a,b,c，则有vBD=0,vFB=0.所以 -a+b=0,43a-23c=0.取 a=1，得 v=1,1,2因为 ECv=1,1,-11,1,2=0，且 EC 平面 FBD，所以 EC平面FBD即点 F 满足 EFEA=13 时，有 EC平面FBD22. （1） 当 l1 与 x 轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即 k3=-k4，所以 l2 垂直于 x 轴，得 AB=2a=23，CD=2b2a=433，得 a=3，b=2，椭圆 E 的方程为 x23+y22=1（2） 焦点 F1 、 F2 坐标分别为 -1,0 、 1,0当直线 l1 或 l2 斜率不存在时，P 点坐标为 -1,0 或 1,0当直线 l1 、 l2 斜率存在时，设斜率分别为 m1，m2，设 Ax1,y1，Bx2,y2，由 x23+y22=1y=m1x+1 得：2+3m12x2+6m12x+3m12-6=0，所以：x1+x2=-6m122+3m12,x1x2=3m12-62+3m12则：k1+k2=y1x1+y2x2=m1x1+1x1+x2+1x2=m12+x1+x2x1x2=-4m1m12-2同理：k3+k