北师大版必修一 二次函数的性质 学案.doc

42二次函数的性质1理解二次函数的定义域、值域、单调性、对称性(重点)2能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质(重点)3会求二次函数在给定闭区间上的最大值与最小值(难点、易混点)基础初探教材整理二次函数yax2bxc(a0)的性质阅读教材p45p47本节有关内容，完成下列问题.a的符号性质a0a0图像开口方向开口向上开口向下顶点坐标对称轴xx单调区间在区间上是减少的，在区间上是增加的在区间上是增加的，在区间上是减少的最大值、最小值当x时，函数取得最小值；无最大值当x时，函数取得最大值；无最小值判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc(a0)一定有最小值()(2)二次函数yx22x2的对称轴为x1.()(3)二次函数yx24x3在区间2，)上是增函数()【答案】(1)(2)(3)小组合作型二次函数的性质已知函数yf(x)3x22x1.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；(2)已知f1，不计算函数值，求f(0)；(3)不直接计算函数值，试比较f与f的大小. 【导学号：04100030】【精彩点拨】【尝试解答】yf(x)3x22x132.(1)顶点坐标为，对称轴是直线x.(2)f1，又，所以结合二次函数的对称性可知f(0)f1.(3)由f(x)32知二次函数图像开口向上，且对称轴为x，所以离对称轴越近，函数值越小又，ff.1已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：ya(xh)2k，进而确定顶点坐标为(h，k)，对称轴为xh.2比较两点函数值的大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小再练一题1已知二次函数f(x)x22ax，分别在下列条件下求实数a的取值(范围)(1)f(x)在(，2)上是增函数；(2)f(x)的递增区间为(，2)【解】函数f(x)(xa)2a2的图像开口向下，对称轴为xa，f(x)的单调递增区间为(，a(1)由题意知(，2)(，a，a2，即实数a的取值范围是2，)(2)由题意知，对称轴xa2，即实数a的取值为2.二次函数的实际应用某企业生产一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台已知这种电器的销售收入(r)与销售量(t)的关系用抛物线段表示，如图242.图242(年产量与销售量的单位：百台；纯收益的单位：万元，生产成本固定成本可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出如图的销售收入(r)与销售量(t)之间的函数关系rf(t)；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与去年生产量的函数关系式，并求去年生产量是多少时纯收益最大【精彩点拨】解答本题可先由图求出销售收入与销售量之间的函数关系式，即rf(t)，然后建立纯收益与销售量之间的函数关系式，进而求出纯收益的最大值【尝试解答】(1)由图可知：ra(t5)2，由t0时，r0得a.r(t5)2(0t5)(2)年纯收益yt25t0.5tt2t0.5，故t4.75时，y取得最大值为10.78万元故年产量为475台，纯收益取得最大值为10.78万元求解实际问题“四部曲”：读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系).(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题. (3)求解：选择合适的数学方法求解函数. (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测.也可认为分成“设元列式求解作答”四个步骤.再练一题2某工厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100元，若生产该产品900千克，求该工厂获得的最大利润，以及此时的生产速度是多少？【解】设利润为y元，则y10091049104，当x6时，函数有最大值，最大值为4.575105元该工厂获得的最大利润为4.575105元，此时的生产速度为6千克/小时探究共研型二次函数的值域(最值)探究 1求二次函数f(x)x22x3在2,0上的最值【提示】由f(x)(x1)22知抛物线开口向上，对称轴为x1，f(x)在2,0上单调递减，当x2时，f(x)有最大值f(2)11；当x0时，f(x)有最小值f(0)3.探究 2求探究1中函数f(x)在2,3上的最值【提示】当x2,3时，f(x)在2,3上是先减后增的，故当x1时，f(x)有最小值f(1)2，又|21|31|，f(x)的最大值为f(2)11.求探究1中函数f(x)在t，t1的最小值g(t)【精彩点拨】可分析x1与区间t，t1的关系，就x1是否落在区间t，t1内展开讨论【尝试解答】当t1时，f(x)在t，t1上单调递增，所以当xt时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t)t22t3.当t1t1，即0t1时，f(x)在区间t，t1上先减后增，故当x1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(1)2.当t11，即t0时，f(t)在t，t1上单调递减，所以当xt1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t1)t22.综上得g(t)求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在m，n上的最值的步骤： (1)配方，找对称轴. (2)判断对称轴与区间的关系. (3)求最值.若对称轴在区间外，则f(x)在m，n上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在m，n端点处取得.再练一题3求探究1中函数f(x)在t，t1上的最大值h(t)【解】当t1时，f(x)在t，t1上单调递增，所以当xt1时，f(x)取得最大值f(t1)(t1)22(t1)3t22.当即t1时，f(x)在t，t1上先减后增，且对称轴更靠近于端点t，此时当xt1时，f(x)取得最大值f(t1)t22.当即0t时，f(x)在t，t1上先减后增，且对称轴更靠近于端点t1，此时当xt时，f(x)取得最大值f(t)t22t3.当t11，即t0时，f(x)在t，t1上单调递减，所以当xt时，f(x)取得最大值f(t)t22t3.综上，h(t)1. 函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称，则()am2bm2cm1 dm1【解析】函数f(x)x2mx1的图像的对称轴为x，且只有一条对称轴，所以1，即m2.【答案】a2. 下列区间中，使函数y2x2x为增函数的是()ar b2，)c. d.【解析】函数y2x2x22的对称轴是直线x，图像开口向下，所以函数值在对称轴x的左边是增加的【答案】d3二次函数f(x)ax2bxc，满足abc0，则其图像一定过点_. 【导学号：04100031】【解析】abc0，f(1)0，二次函数的图像过点(1,0)【答案】(1,0)4抛物线y2x2x1的顶点坐标是_【解析】y22，抛物线的顶点为.【答案】5. 求函数f(x)x2