专题：直线方程.doc

行成于思，学止于行！专题：直线方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点；（）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（三）垂直直线系与AxByC0垂直的直线为：BxAyC10 相关问题：设定点P(x0,y0)1、用斜率k作参数的直线系方程y-y0=k(x-x0)(不包括无斜率的直线)2、用A、B作参数的直线系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A、B不全为0) （6）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。一、 对称性问题1、点关于点的对称例1 已知点A（2，3），求关于点P（1，1）的对称点B（）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。 解：设点A（2，3）关于点P（1，1）的对称点为B（），则由中点坐标公式得解得所以点A关于点P（1，1）的对称点为B（4，1）。 评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。2、直线关于点的对称例2 求直线关于点P（2，1）对称的直线l的方程。 分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为。 解：由直线l与平行，故设直线l方程为。由已知可得，点P到两条直线距离相等，得解得，或（舍）。则直线l的方程为评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。3、点关于直线的对称例3 求点A（2，2）关于直线的对称点坐标。 利用点关于直线对称的性质求解。 解法1（利用中点转移法）：设点A（2，2）关于直线的对称点为A（），则直线AA与已知直线垂直，故可设直线AA方程为，把A（2，2）坐标代入，可求得。直线AA方程为。由方程组解得AA中点M。由中点坐标公式得，解得所求的对称点坐标为（1，4）。评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。分析：设B（a，b）是A（2，2）关于直线的对称点，则直线AB与l垂直，线段AB中点在直线上。解法2（相关点法）：设B（a，b）是A（2，2）关于直线的对称点，根据直线AB与l垂直，线段AB中点在直线上，则有解得所求对称点的坐标为（1，4）。评注：中点在上；所求点与已知点的连线与垂直。4、直线关于直线的对称例4 求直线关于直线对称的直线l的方程。 分析：设所求直线l上任一点为P（），利用“相关点法”求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线方程进行求解。 解：设所求直线l上任意一点P（）（）关于的对称点为Q（）， 则解得又因为点Q在上运动，则0。，解得。即直线l的方程为。例5 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解 方法一 由知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得=，解得k=(k=2舍去)，直线l2的方程为x-2y=0.方法二 设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上.，变形得,代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.二、直线系问题 一、平行直线系方程在解题中的应用 与直线：（A,B不同时为0）平行的直线系方程为：（）. 例1已知直线：，直线：被，截得的线段长为，求直线的方程. 分析：本题是已知两直线平行和其中一条直线方程求直线方程问题，可用平行直线系求解.解析：设：（），直线到直线所处的角为，直线、间的距离为，由题知，=1，=，由到角公式得，=，=，=，由平行线间距离公式得，=，解得=2或=4，直线方程为：或.点评：对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.本题也可以由两直线平行斜率相等求出所求直线斜率，把所求直线方程设成点斜式，再利用点到直线的距离公式列出关系式求解.二、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：（A,B不同时为0）垂直的直线系方程为：.例2已知直线是曲线的一条切线且与直线垂直，求直线的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设：，由消去得，由与曲线相切得，=0，解得=0，：.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.三、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（，）的直线系方程：（A,B不同时为0）.例 3 求过点圆的切线的方程分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为（其中不全为零），则整理有，直线l与圆相切，圆心到直线l的距离等于半径1，故，整理，得，即（这时），或故所求直线l的方程为或点评：对求过定点（，）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: ，注意的此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线系方程为：（，为参数）.例4 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：，当直线过原点时，则=0，则=1，此时所求直线方程为：；当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：.综上所述，所求直线方程为：或.五、求直线系方程过定点问题例5 证明：直线(是参数且R)过定点，并求出定点坐标.分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.解析：（恒等式法）直线方程化为:,R, ，解得，直线(是参数且R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取=0，=1得，联立解得，将（1,1）代入检验满足方程，直线(是参数且R)过定点（1,1）.三、直线系方程及其巧妙应用1命题的给出命题：设点在直线（其中不全为零）上，则这条直线的方程可以写成这一结论的证明比较简单，但值得我们注意的是直线表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象2命题的应用（1）斜率问题的应用在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性例过点作圆的切线l，求切线l的方程解：设所求直线l的方程为（其中不全为零），则整理有，直线l与圆相切，圆心到直线l的距离等于半径1，故，整理，得，即（这时），或故所求直线l的方程为或（2）截距问题的应用当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截