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第七章数列与数学归纳法7.1 第1课时 数列(1)教学过程一问题情境1情境：某剧场座位数依次为，（） 某彗星出现的年份依次为，（） 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为个，那么每过分钟，个细胞分裂的个数依次为，（） 一尺之棰，日取其半，万世不竭如果将一尺之棰视为份，那么每日剩下的部分依次为，（） 2问题：这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？二数学1数列 称为数列数列的一般形式可以写成，简记为2项 都叫做这个数列的项称为数列的第项（或称为首项），称为第项，称为第项说明：数列的概念和记号与集合概念和记号的区别：(1)数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；(2)数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复3有穷数列与无穷数列 叫做有穷数列， 叫做无穷数列4数列是特殊的函数在数列中，对于每一个正整数（或），都有一个数与之对应，因此，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，（强调有序性）说明：数列的图象是一些离散的点5通项公式一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式三、数学运用1例题：例1写出数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：（），；（），；（），；（），；（），解：说明：写出数列的通项公式（）关键是寻找与的对应关系；（）符号用或来调节；（）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系；（）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的；（）对于形如，的数列，其通项公式均可写成2练习： 写出下列数列的通项公式：（），；（），；（），7.1 第2课时 数列(2)教学目标（1）了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；（2）掌握根据数列的前项和确定数列的通项公式教学重点，难点（1）数列的递推公式的理解与应用；（2）根据数列的前项和确定数列的通项公式教学过程一问题情境复习：（）数列的通项公式，则是该数列中的第 项已知数列的通项公式，则= ，= ，65是它的第 项 ；从第 项起各项为正；中第 项的值最小为 。中，则值最小的项是 （）写出下列数列的通项公式：， ，；，；，；，；二学生活动思考：已知在数列中，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？三建构数学1递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），以及任一项与前面一项（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做 的递推公式2数列的前项的和通常记为，与的关系：注意验证的情况四数学运用1例题：例1（）若数列中，且各项满足，写出该数列的前四项（）若数列中，且各项满足，则是该数列的第几项？解：例2已知数列的前项和，求该数列的通项公式解：例3已知数列的前项和（）求数列的通项公式；（）设，求数列的通项公式解： 2练习：（）已知数列满足，写出它的前项，归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式（）数列的前项和满足，求该数列的通项公式五回顾小结：1数列中递推关系的概念；2由数列的前项的和求数列的通项公式的过程六课外作业：习题第，题补充：数列中，写出该数列的前四项，并归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式数列的前项和，求该数列的通项公式教学反思：7.2第1 课时 等差数列的概念教学目标（1）能准确叙述等差数列的定义；（2）能用定义判断数列是否为等差数列；（3）会求等差数列的公差及通项公式。教学重点，难点等差数列的定义及等差数列的通项公式。教学过程一问题情境1情境：观察下列数列：，； ， 第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费元，以后每分钟收话费元，那么通话费按从小到大的次序依次为： 如果1年期储蓄的月利率为，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ， 12个月，所得的本利和依次为10000， 2问题：上面这些数列有何共同特征？二学生活动对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4；对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。三建构数学1等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或思考：（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？ （2）判断下列数列是否为等差数列：1，1，1，1，1； 4，7，10，13，16； ，1，2，3。是等差数列，不是等差数列。（3）求出下列等差数列中的未知项：3，5； 3， （4）已知等差数列：4，7，10，13，16，如何写出它的第100项？2等差数列的通项公式：已知等差数列的首项是，公差是，求 由等差数列的定义：， ， 所以，该等差数列的通项公式： 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。四数学运用1例题：例1第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数照算。（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？说明：由此例说明等差数列项的判断方法。例2在等差数列中，已知，求解： 例3某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求。 例4已知数列的通项公式为，其中，是常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。解： 例5在与中间插入三个数，使得这个数成等差数列，求，解：2练习：课本 1，2，3，4，5， 1五回顾小结：1等差数列的定义：；2等差数列的通项公式及其推导方法；3等差数列中项的判断方法。六课外作业：P38 2，3，4，5题补充：1已知等差数列满足，求数列的通项公式；2在等差数列中，已知，（1）首项与公差，并写出通项公式；（2）中有多少项属于区间？教学反思：7.2第2课时 等差数列的通项公式教学目标（1）理解等差数列中等差中项的概念；（2）会求两个数的等差中项；（3）掌握等差数列的特殊性质及应用；（4）掌握证明等差数列的方法。教学重点，难点等差中项的概念及等差数列性质的应用。教学过程一问题情境1复习：等差数列的定义、通项公式 ；2问题：（1）已知是公差为的等差数列。也成等差数列吗？如果是，公差是多少？也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列的首项为，公差为。将数列中的每一项都乘以常数，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？由数列中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）已知数列是等差数列，当时，是否一定有？（4）如果在与中间插入一个数，使得，成等差数列，那么应满足什么条件？ 二学生活动与学生一起讨论得出结论。三建构数学1等差中项的概念：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列2等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是 如：，；，；（3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，则 四数学运用1例题：例1已知等差数列的通项公式是，求首项和公差。解：，或等差数列的通项公式是，是关于的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在直线上（如图）例2（1） 是等差数列，证明为等差数列。（2）在等差数列中，是否一定有？（3）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？例3在等差数列中，若，求解：例4在等差数列中，求 在等差数列中，求的值。解： 例5如图，三个正方形的边的长组成等差数列，且，这三个正方形的面积之和是。（1）求的长； （2）以的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解： 五回顾小结：1等差中项的概念；2等差数列性质的应用；3掌握证明等差数列的方法。教学反思：六课外作业：P38 5，6，7，8，9，10题7.2第3 课时 等差数列的前项的和（1）教学目标（1）理解用等差数列的性质推导等差数列的前项和的方法； （2）掌握等差数列的前项和的两个公式，并能运用公式初步解决有关问题；（3）理解蕴含在推导过程的数学思想、掌握相关的数学方法，提高逻辑推理能力教学重点，难点公式的推导、理解和记忆，公式的灵活运用。教学过程一问题情境1一堆钢管共7层，第一层钢管数为4，第七层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？二学生活动引导学生思考、讨论可得出如下方法：数一数；分组求和（插入高斯的故事）；倒序相加法。三建构数学1等差数列的前和：（1）问题：在等差数列中首项，公差，求+ + + ， ，又， （2）等差数列的前和的求和公式：.说明：（1）等差数列的前和等于首末两项和的一半的倍；（2）在等差数列前项和公式及通项公式中有，五个量，已知其中三个可以求出另外两个。四数学运用1例题：例1在等差数列中，（1）已知，求；（2）已知，求。例2（1）在等差数列中，已知，求及；（1） 在等差数列中，求及解： 例3求集合的元素个数，并求这些元素的和。解： 例4（1）在等差数列中，若，求（答案：）（2）在等差数列中，第11项到第20项的和为910，求 第21项到第30项的和。解：从上例中我们发现：也成等差数列，你能得出更一般的结论吗？结论：仍成等差数列，公差为（为确定的正整数）。2练习： 1，2，3，4 练习：1五回顾小结：1等差数列的前项和的两个公式及推导方法 ；2在等差数列前项和公式及通项公式中有，五个量，已知其中三个可以求出另外两个。3等差数列前项和的性质：在等差数列中前项为，则仍成等差数列，公差为（为确定的正整数）。六课外作业： P44 1（2）（4），2，3（1）（3）（4），4，5，6题教学反思：7.2第4课时 等差数列的前项和的公式（2）教学目标（1）能熟练运用等差数列前项和的公式解决有关应用问题，（2）掌握等差数列前项和中奇数项和与偶数项和的性质。教学重点，难点等差数列前项和的公式的应用。教学过程一问题情境情境：1等差数列中，则；2等差数列中，则；3已知等差数列前项和为，前项和为，前项的和为为 ；4某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有 个座位。二学生活动学生板演解答上面各题。三数学运用1例题：例1已知等差数列的项数为奇数，且奇数的和为，偶数项的和为，求此数列的中间项及项数。解：说明：设数列是等差数列，且公差为，（）若项数为偶数，设共有项，则奇偶； ；（）若项数为奇数，设共有项，则偶奇； 例2某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m）? 解： 说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。例3教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。2练习：练习3，4五回顾小结：1等差数列前项和中奇数项和与偶数项和的性质；2等差数列前项和公式在实际中的应用及解题规范。六课外作业：课本 7，8，9，11，12题教学反思：7.2第5课时 等差数列的前项和（3）教学目标（1）能熟练地应用等差数列前项和公式解决有关问题；（2）能利用数列通项公式与前项和之间的关系解决有关问题。教学重点，难点1等差数列前项和公式的应用；2数列通项公式与前项和之间的关系的应用。教学过程一问题情境1情境：已知等差数列中，任何求？（）二学生活动（1）求出和，再用等差数列的通项公式求；（2）利用与的关系：（3）把等差数列的条件去掉，求。三数学运用1例题：例1（1）如果数列满足，（），求；（2）已知数列的前项和为，求解： 例2等差数列与的前项和分别为和，且，求的值。解： 说明：若等差数列与的前项和分别为和，则例3在等差数列中，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？（3）求前项和？说明：（1），时，有最大值；，时，有最小值； （2）最值的求法