初中数学竞赛专项训练(2)及答案.doc

初中数学竞赛专项训练（2）（代数式、恒等式、恒等变形）一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A. m(1+a%)(1b%)元B. ma%(1b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元2、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为 （ ）A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-2cABCab3、在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若B60，则的值为（）A. B. C. 1D. 4、设ab0，a2+b2= 4ab，则的值为 （）A. B. C. 2D. 35、已知a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式a2+b2+c2abbcca的值（ ）A. 0B. 1C. 2D. 36、设a、b、c为实数，则x、y、z中，至少有一个值 （）A. 大于0B. 等于0C. 不大于0D. 小于07、已知abc0，且a+b+c0，则代数式的值是（）A. 3B. 2C. 1D. 08、若（x、y是实数），则M的值一定是（）A. 正数B. 负数C. 零D. 整数二、填空题1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为2、已知-1a0，化简得3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y9，则x+2y+3z=_4、已知x1、x2、x40都是正整数，且x1+x2+x4058，若x12+x22+x402的最大值为A，最小值为B，则AB的值等于5、计算：_6、已知：多项式可被和整除，则三、解答题：1、已知实数a、b、c、d互不相等，且，试求x的值。2、如果对一切x的整数值，x的二次三项式的值都是平方数（即整数的平方）。证明：2a、ab、c都是整数。a、b、c都是整数，并且c是平方数。反过来，如果成立，是否对于一切x的整数值，x的二次三项式的值都是平方数？3、若，求证：a是一完全平方数，并写出a的值。4、设a、b、c、d是四个整数，且使得是一个非零整数，求证：m一定是个合数。5、若的十位数可取1、3、5、7、9。求的个位数。数学竞赛专项训练（2）- 3 -专项训练（2）参考答案一、选择题1、解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1a%）b%元。应选C2、解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。当a，b，c为两正一负时：；当a，b，c为两负一正时：由知所有可能的值为0。应选A3、解：过A点作ADCD于D，在RtBDA中，则于B60，所以DB，AD。在RtADC中，DC2AC2AD2，所以有（a）2b2C2，整理得a2c2=b2ac，从而有应选C4、解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于ab0，得，故。应选A应选D应选A应选A应选A二、填空题1、解：设该商品的成本为a，则有a(1+p%)(1-d%)=a，解得2、解因为1a0，所以3、解：由已知条件知（x+1）y=6，(x1)y=z29，所以x1，y是t26tz29=0的两个实根，方程有实数解，则（6）24（z29）4z20，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。所以x+2y+3z84、解：494。因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故的最小值和最大值是存在的。不妨设，若1，则+（-1）+(+1)，且（1）2+（+1）22+22（-）+22+2，所以，当1时，可以把逐步调整到1，这时将增大；同样地，可以把，逐步调整到1，这时将增大。于是，当，均为1，19时，取得最大值，即A+192400。若存在两个数，使得2（1ij40），则（1）2+（-1）22+22（ 1）2+2，这说明在，中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时，将减小。所以，当取到最小时，中任意两个数的差都不大于1。于是当1，2时，取得最小值，即，故AB4946、解：由已知可知，得，解得ab24226三、解答题1、解：由已知有2、解：令，得c平方数c2；令，得，其中m、n都是整数，所以，都是整数。如果2b是奇数2k+1（k是整数），令得，其中h是整数，由于2a是整数，所以16a被4整除，有除以4余2，而，在h，l的奇偶性不同时，是奇数；在h，l的奇偶性相同时，能被4整除，因此，从而2b是偶数，b是整数，也是整数，在成立时，不一定对x的整数值都是平方数，例如：a=2，b=2，c=4，x1时，8不是平方数。3、解：设x1995，则1996x+1，所以4、解：要证明|m是合数，只要能证出mpq，pq均为大于1的正整数即可。因为m是非零整数，则是非零整数。由于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除，所以四个数均为偶数。所以可设a+b+c-d=2m1，a+b-c+d=2m2，a-b+c+d=2m3，-a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数。所以，所以m4m1m2m3m40，所以m是一个合数。5、解：设，其中取自0，1，2，3，4，9，将写成两位数的形