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文档简介
初中数学竞赛专项训练(2)(代数式、恒等式、恒等变形)一、选择题:下面各题的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在括号内。1、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是()A. m(1+a%)(1b%)元B. ma%(1b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元2、如果a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,那么的所有可能的值为 ( )A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-2cABCab3、在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若B60,则的值为()A. B. C. 1D. 4、设ab0,a2+b2= 4ab,则的值为 ()A. B. C. 2D. 35、已知a1999x2000,b1999x2001,c1999x2002,则多项式a2+b2+c2abbcca的值( )A. 0B. 1C. 2D. 36、设a、b、c为实数,则x、y、z中,至少有一个值 ()A. 大于0B. 等于0C. 不大于0D. 小于07、已知abc0,且a+b+c0,则代数式的值是()A. 3B. 2C. 1D. 08、若(x、y是实数),则M的值一定是()A. 正数B. 负数C. 零D. 整数二、填空题1、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为2、已知-1a0,化简得3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y9,则x+2y+3z=_4、已知x1、x2、x40都是正整数,且x1+x2+x4058,若x12+x22+x402的最大值为A,最小值为B,则AB的值等于5、计算:_6、已知:多项式可被和整除,则三、解答题:1、已知实数a、b、c、d互不相等,且,试求x的值。2、如果对一切x的整数值,x的二次三项式的值都是平方数(即整数的平方)。证明:2a、ab、c都是整数。a、b、c都是整数,并且c是平方数。反过来,如果成立,是否对于一切x的整数值,x的二次三项式的值都是平方数?3、若,求证:a是一完全平方数,并写出a的值。4、设a、b、c、d是四个整数,且使得是一个非零整数,求证:m一定是个合数。5、若的十位数可取1、3、5、7、9。求的个位数。数学竞赛专项训练(2)- 3 -专项训练(2)参考答案一、选择题1、解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件m(1a%)元,因调整后的零售价为原零售价的b%,所以调价后每件衬衣的零售价为m(1a%)b%元。应选C2、解:由已知,a,b,c为两正一负或两负一正。当a,b,c为两正一负时:;当a,b,c为两负一正时:由知所有可能的值为0。应选A3、解:过A点作ADCD于D,在RtBDA中,则于B60,所以DB,AD。在RtADC中,DC2AC2AD2,所以有(a)2b2C2,整理得a2c2=b2ac,从而有应选C4、解:因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于ab0,得,故。应选A应选D应选A应选A应选A二、填空题1、解:设该商品的成本为a,则有a(1+p%)(1-d%)=a,解得2、解因为1a0,所以3、解:由已知条件知(x+1)y=6,(x1)y=z29,所以x1,y是t26tz29=0的两个实根,方程有实数解,则(6)24(z29)4z20,从而知z=0,解方程得x+1=3,y=3。所以x+2y+3z84、解:494。因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种,故的最小值和最大值是存在的。不妨设,若1,则+(-1)+(+1),且(1)2+(+1)22+22(-)+22+2,所以,当1时,可以把逐步调整到1,这时将增大;同样地,可以把,逐步调整到1,这时将增大。于是,当,均为1,19时,取得最大值,即A+192400。若存在两个数,使得2(1ij40),则(1)2+(-1)22+22( 1)2+2,这说明在,中,如果有两个数的差大于1,则把较小的数加1,较大的数减1,这时,将减小。所以,当取到最小时,中任意两个数的差都不大于1。于是当1,2时,取得最小值,即,故AB4946、解:由已知可知,得,解得ab24226三、解答题1、解:由已知有2、解:令,得c平方数c2;令,得,其中m、n都是整数,所以,都是整数。如果2b是奇数2k+1(k是整数),令得,其中h是整数,由于2a是整数,所以16a被4整除,有除以4余2,而,在h,l的奇偶性不同时,是奇数;在h,l的奇偶性相同时,能被4整除,因此,从而2b是偶数,b是整数,也是整数,在成立时,不一定对x的整数值都是平方数,例如:a=2,b=2,c=4,x1时,8不是平方数。3、解:设x1995,则1996x+1,所以4、解:要证明|m是合数,只要能证出mpq,pq均为大于1的正整数即可。因为m是非零整数,则是非零整数。由于四个数a+b+c-d,a+b-c+d,a-b+c+d,-a+b+c+d的奇偶性相同,乘积应被4整除,所以四个数均为偶数。所以可设a+b+c-d=2m1,a+b-c+d=2m2,a-b+c+d=2m3,-a+b+c+d=2m4,其中m1,m2,m3,m4均为非零整数。所以,所以m4m1m2m3m40,所以m是一个合数。5、解:设,其中取自0,1,2,3,4,9,将写成两位数的形
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