北师大版选修11 第四章 2.2　最大值、最小值问题 课件（36张）.pptx

第1课时函数的最值与导数 第四章2 2最大值 最小值问题 学习目标1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点函数的最大 小 值与导数 如图为y f x x a b 的图像 思考1观察 a b 上函数y f x 的图像 试找出它的极大值 极小值 答案极大值为f x1 f x3 极小值为f x2 f x4 思考2结合图像判断 函数y f x 在区间 a b 上是否存在最大值 最小值 若存在 分别为多少 答案存在 f x min f a f x max f x3 思考3函数y f x 在 a b 上的最大 小 值一定是某极值吗 答案不一定 也可能是区间端点的函数值 梳理最值的概念及求法 1 函数f x 在闭区间 a b 上的最值 最值点 函数y f x 在区间 a b 上的最大值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都f x0 把f x0 叫作y f x 在 a b 上的最大值 函数f x 在区间 a b 上的最小值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都f x0 把f x0 叫作y f x 在 a b 上的最小值 函数的最大值和最小值统称为 不超过 不低于 最值 2 求连续函数y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在内的极值 将函数y f x 的与端点处的比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 区间 a b 各极值 函数值f a f b 最大 最小 思考辨析判断正误 1 函数的最值一定是极值 而极值不一定是最值 2 函数的最大值一定大于最小值 函数的极大值一定大于极小值 3 单调函数在闭区间上一定有最值 一定无极值 4 若函数存在最大 小 值 则最大 小 值唯一 题型探究 类型一求函数的最值 命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列函数的最值 1 f x 2x3 12x x 2 3 当x 3时 f x 取得最大值18 解答 解答 所以当x 0时 f x 有最小值0 当x 2 时 f x 有最大值 反思与感悟求解函数在固定区间上的最值 需注意以下几点 1 对函数进行准确求导 并检验f x 0的根是否在给定区间内 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3 比较极值与端点函数值大小 确定最值 跟踪训练1求函数f x ex 3 x2 x 2 5 的最值 解答 解 f x 3ex exx2 f x 3ex exx2 2exx ex x2 2x 3 ex x 3 x 1 在区间 2 5 上 f x ex x 3 x 1 0 函数f x 在区间 2 5 上是减少的 当x 2时 函数f x 取得最大值f 2 e2 当x 5时 函数f x 取得最小值f 5 22e5 命题角度2含参数的函数求最值例2已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 解答 解由f x x k ex 得f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 所以 f x 的递减区间是 k 1 递增区间是 k 1 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上是增加的 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上是减少的 在 k 1 1 上是增加的 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上是减少的 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上可知 当k 1时 f x min k 当1 k 2时 f x min ek 1 当k 2时 f x min 1 k e 解答 反思与感悟对参数进行讨论 其实质是讨论导函数大于0 等于0 小于0三种情况 若导函数恒不等于0 则函数在已知区间上是单调函数 最值在端点处取得 若导函数可能等于0 则求出极值点后求极值 再与端点值比较后确定最值 跟踪训练2已知a为常数 求函数f x x3 3ax 0 x 1 的最大值 解答 解f x 3x2 3a 3 x2 a 若a 0 则f x 0 函数f x 在 0 1 上是减少的 所以当x 0时 f x 有最大值f 0 0 当x变化时 f x f x 随x的变化情况如下表 函数f x 在 0 1 上是增加的 当x 1时 f x 有最大值f 1 3a 1 综上 当a 0 x 0时 f x 有最大值0 当a 1 x 1时 f x 有最大值3a 1 类型二由函数的最值求参数 例3已知函数f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解答 解由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题设矛盾 求导得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 若a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表可知 当x 0时 f x 取得极大值b 也是函数f x 在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3f 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值 范围 是求函数最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 其中注意分类讨论思想的应用 解答 解令f x 3x2 3ax 0 得x1 0 x2 a 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 而f 0 f a f 1 f 1 故需比较f 0 与f 1 及f 1 与f a 的大小 所以f x 的最大值为f 0 b 1 达标检测 1 函数f x x2 4x 7在x 3 5 上的最大值和最小值分别是a f 2 f 3 b f 3 f 5 c f 2 f 5 d f 5 f 3 答案 解析 1 2 3 4 5 解析 f x 2x 4 当x 3 5 时 f x 0 故f x 在 3 5 上是减少的 故f x 的最大值和最小值分别是f 3 f 5 2 函数f x x3 3x x 1 a 有最大值 但无最小值b 有最大值 也有最小值c 无最大值 但有最小值d 既无最大值 也无最小值 1 2 3 4 5 答案 解析 解析f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 所以f x 在 1 1 上是减少的 无最大值和最小值 故选d 3 函数f x x3 3ax a在 0 1 内有最小值 则a的取值范围是 1 2 3 4 5 答案 解析 解析 f x 3x2 3a 令f x 0 可得a x2 a 0 又 x 0 1 0 a 1 故选b 4 设m m分别是函数f x 在 a b 上的最大值和最小值 若m m 则f x 1 2 3 4 5 答案 解析 0 解析因为f x 在 a b 上的最大值与最小值相等 所以f x 在 a b 上为常函数 f x 0 5 函数f x x3 x2 2x 5 若对于任意x 1 2 都有f x m 则实数m的取值范围是 1 2 3 4