（九上）§2.2用配方法求解一元二次方程(第1课时).doc

教学设计基本信息课题名称（九上）2.2用配方法求解一元二次方程本课执教者保定市回民中学 陈虎课时第1课时所属教材目录北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程教材分析教材基于学生用估算的方法求解一元二次方程的基础之上，提出了本课的具体学习任务：理解直接开平方法与配方法的理论根据和基本解题思路；会用直接开方法解形如的方程；会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c=0。本课用配方法求解一元二次方程内容从属于新课标“方程与不等式”这一学习领域，即：关于方程教学的目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。学情分析学生的知识技能基础学生已经学过了平方根的概念和两个完全平方式。在本章又学习了一元二次方程的概念，并经历了用估算法求一元二次方程的解的过程，初步理解了一元二次方程解的意义。学生的活动经验基础学生已经经历了用计算器估算一元二次方程解的过程，解决了一些简单的现实问题，感受到解一元二次方程的必要性和作用，基于学生的数学学习心理规律，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多独立解题和交流讨论的学习过程，具有了一定的合作学习的经验和合作交流的能力。教学目标知识与能力目标1.理解直接开平方法与配方法的理论根据和基本解题思路。 2.会用直接开方法解形如的方程。3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c=0。过程与方法目标1.经历解方程的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力。2.体会数学转化思想方法。情感态度与价值观目标能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性，并激发学生学习数学的信心和兴趣。教学重难点教学重点1.理解直接开平方法与配方法的理论根据和基本解题思路。 2.会用直接开方法解形如的方程。3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c=0。教学难点在配方法中如何正确配出完全平方式。教学策略与 设计说明辅助手段： 制作PPT课件辅助教学。本课教法： 1.利用“问题串”进行思维引导和意义建构。2.思维引导与强化练习相结合。本课学法： 积极思考，踊跃回答，尽量独立完成，尽量减少交流讨论环节。教学流程： 本节课设计了六个教学环节。第一环节：实例引入本课需要解决的问题；第二环节：探究直接开平方法并进行归纳；第三环节：探究配方法并进行归纳；第四环节：返回到引入实例并进行解答；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。教学过程教学环节教师活动与学生活动内容、活动目的与实际效果第一环节实例引入本课需要解决的实际问题4分钟左右【活动内容】：让我们用下面的实例引入本课的学习内容。1.实例：在上一节的问题中，我们研究了梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 x2+12x-15=0，并且利用“二分法”求出了未知数 x 的近似值，你还能设法求出x的精确解吗?也就是说：如何解方程 x2+12x-15=0 ?2.让我们初步思考一下：方程 x2+12x-15=0 稍微有点儿复杂，那么就让我们先从解简单的一元二次方程 x2 = 9 和 x2 = 7 开始吧。3.很明显，要想解 x2 = 9 和 x2 = 7 这两个方程，我们可以使用什么概念？【活动目的】：通过实例引入本课，使学生明确本节课应该重点学习什么方法来解决实例中提出的问题。【实际效果】：学生在上节课经历了用计算器估算一元二次方程解的过程，感受到解一元二次方程的必要性，基于学生的数学学习心理规律，学生已经产生了用简单方法求其解的兴趣。第二环节引导探究直接开平方法并进行归纳15分钟左右【活动内容】：今天这节课让我们从复习平方根的概念开始。（一）你还记得平方根的概念吗？1.如果一个数的平方等于9，那么这个数是 ， 思考：（1）一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？（2）零有几个平方根？ （二）接下来，我们看看能不能根据平方根的概念解方程呢？2.如果 一个数x 的平方等于7，那么这个数x是 。 思考：（1）你会解方程x2 = 7吗？（2）方程 x 2 = 0的解是多少？（3）方程 x 2 = 4 有解吗？如果有解，请求出；如果没有解，请说明理由。（三）下面，再让我们把刚才的想法进行一下类比思考：1.（1）方程 x2 = 5 和方程（x + 1）2 = 5在形式上类似吗？（2）那么，你能类比方程 x2 = 5 的求解方法，想到方程（x + 1）2 = 5 怎样求解吗？请你尝试解一解。2.思考：（1）你会解方程 （x3）2 = 0 吗？（2）你会解方程（x + 1）2 = 4 吗？（四）下面，再让我们把刚才的想法进行一下深入思考：1.思考：你根据解下列四个方程的？x 2 = 5 （x + 1）2 = 5 （x3）2 = 0 （x + 1）2 = 4也就是说，解上面这四个方程时都用到了什么数学概念?2.深入思考：你认为方程（x+ m）2 = n 一定有解吗？为什么？解：不一定。理由如下：情况1：当n 0时，x + m = n x = n m情况2：当n = 0时，x + m = 0 x = m情况3：当n 0时，负数没有平方根方程没有实数根。3.引导归纳：我们根据平方根的概念对方程（x + m）2 = n 求解 的方法，叫做“直接开平方法”。4. 请你先尝试用“直接开平方法”求解下面方程，尽量自己独立做，不懂的地方可以进行交流讨论。学生练习1： 解下列方程：（1）x2 + 5 = 0（2）2x2 + 3 = 5（3）（x +2）2 3 = 5（4）(x+6)2 + 72 = 102【活动目的】：利用一系列思维引导活动的设计，让学生初步体会到直接开方法在解一元二次方程中的作用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于思考、乐于探究的学习品质，以及尽量独立完成、减少与他人交流讨论的意识。【实际效果】：在引导复习了平方根概念的基础上，学生会很快找到解决形如的一元一次方程解法，并且归纳得出“直接开平方法”的概念及理论根据。但是可能对“方程（x+ m）2 = n 一定有解吗？”的探究产生困难，可能需要延时讲解。第三环节深入探究配方法并进行归纳15分钟左右【活动内容】：（一）下面让我们进一步地深入思考一下：如何解方程x2+2x+1 = 5呢？（1）方程 x2+2x+1 = 5 可以转化为方程（x + 1）2 = 5吗？你是根据 进行转化的？（2）那么，你能类比方程 x2+2x+1 = 5的求解方法，想到方程 x2+2x = 3 怎样求解吗？解：x2+2x+1=3+1（配成完全平方式）（x+1）2=4x+1=2（根据平方根的概念）x=21x1=21=1，x2=21=3（二）如果方程左边稍微复杂，那么你怎样配成完全平方式的样子呢？比如：x2+4x 再加上什么数就可以成为一个完全平方式？请进一步思考并板演一下解题过程：（1）填空：x2 6x + _ =（x _）2（2）你会解方程 x2 + 10x = 2 吗?（1）填空：x2 6x + 9 =（x 3）2（2）解：x2+2x5+52=2+52（完全平方公式） （x+5）2=27 x+5=27（平方根的概念） x=335 x1=331，x2=335（三）让我们从下面的练习中进一步体会方程的解法。学生练习2： 1、你能在横线上填上适当的数，使得下面等式成立吗?（1） x2 + 8x + _ =（x + _）2（2） x2 5x + _ =（x _）22、你能熟练解出下面方程吗?（1） x2 + 8x = 7 （2） x2 5x + 2 = 8x（四）引导归纳：首先我们根据完全平方公式将二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c = 0转化为方程（x+ m）2 = n，然后再根据平方根的概念对方程（x + m）2 = n 求解的方法，叫做“配方法”。【活动目的】：利用一系列思维引导活动的设计，让学生初步体会到配方法在解一元二次方程中的作用，尽量规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成形式，。配方法的关键是正确配成完全平方式，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。【实际效果】：通过复习完全平方式的基本特征，使大部分学生很快解决填空题：x2 6x + _ =（x _）2。但仍会有学生对于要“把形如的式子配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方即加上即可”理解不到位。事实上，还可能有的同学对配成完全平方式的方法有自己的理解，只要是正确的，应该给予肯定。活动目的：通过对例1和例2的讲解，同时通过例2提醒学生注意：有的方程虽然有两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对结果进行取舍。由于此问题在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目的。最后由问题“用这种方法解一元二次方程的思路是什么？”引出配方法的定义。实际效果：学生经过前一环节对配方法的特点有了初步的认识，通过两个例题的处理，进一步完善对配方法基本思路的把握，是对配方法的学习由探求迈向实际应用的第一步。最后利用两个问题，通过小组的合作交流得出配方法的基本思路和解决问题的关键，结论的得出来源于学生在实例分析中的亲身感受，体现学生学习的主动性。讨论，学生发现这三种方法都正确，并且指出第一种方法可以利用平移水渠，把分割成的四部分拼在一起，构成了一个较大的矩形（如下图），然后再利用矩形的面积公式列出方程，此种方法在解决此类问题时最简单。这样通过学生之间的争论、辩论提高了课堂效率，激发了学生学习数学的热情，达到了资源共享。第四环节返回到引入实例并进行解答5分钟左右【活动内容】：最后，我们来看看刚上课时的那个实例是怎样求解的？让学生把解方程的过程写在黑板上，其他同学自己独立完成。实例：上节课，我们研究梯子底端滑动的距离满足方程,你能仿照上面几个方程的解题过程,求出的精确解吗?解：x2+2x6+62=15+62(x+6)2 =51x+6= ,，因为表示梯子底部滑动的距离所以 不合题意舍去。答：梯子底部滑动了米。【活动目的】：通过对引入实例的解答达到前后呼应的目的。并且提醒学生注意：在处理实际问题时，有的方程虽然有两个不同的解，但要根据实际意义检验结果的合理性，并对结果进行取舍。【实际效果】：学生虽然能正确解出,，但是仍然还有学生会忽视根据实际意义检验方程两个解的合理性。第五环节课堂小结5分钟左右【活动内容】：这节课就要结束了，大家都谈谈自己的收获。这节课就要结束了，大家都谈谈自己的收获吧。最好围绕着这两个要点谈一谈。（学生畅所欲言，教师给予鼓励）1.我们解形如（x+m）2 =n一元二次方程，通常使用什么方法？这种解法的理论根据是什么？2.我们解形如 x2+bx+c=0 的二次项系数为 1的一元二次方程，通常使用什么方法？这种解法的理论根据是什么？老师总结：虽然这节课只是一元二次方程两种基本解法的学习，而这恰好说明：我们不能忽视平方根概念和配成完全平方式的价值。【活动目的】：师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键，以及在应用配方法时应注意的问题。【实际效果】：学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了配方法的基本思路和过程。第六环节布置作业1分钟左右课本37页习题2.3的第1、2、3题教学后记这节课是一节比较成功的课。它具体结合了教学班级的学生特点，创造性地使用了教材，深入挖掘了教材深一层的内容。具体说有以下三个优点：1.用“思维的引领”贯穿整个教学过程。通过将问题特殊化的思路从几个层层递进的方程入手，引导学生通过转化得出解一元二次方程的解法直接开平方法和配方法，在思维的引领下理解这两种解法的意义。2.为学生提供展示自己聪明才智的机会。在课堂上把激发学生的学习热情和获得学习能力放在教学