北师大版必修五 数列的综合应用 教案 .doc

数列的综合应用一、教学目标：能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比数列，并能用相关知识解决相应的问题。二、教学重点：数列的综合应用三、教学难点：数列与不等式的综合运用四、教学过程：（一）考点知识点梳理1等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的2数列和函数、不等式的综合(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d0的情况下关于n的一次和二次函数(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q1的情况下是公比q的指数函数模型(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题3数列的应用题(1)解决数列应用题的基本步骤是：根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论(2)数列应用题常见模型：等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，或前n项和sn与sn1之间的递推关系辨 析 感 悟1等差数列与等比数列的综合问题(1)在等差数列an中，首项a1公差d、前n项和sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个()(2)在等比数列an中，首项a1、公比q、前n项和sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个()(3)一个细胞由1个分裂为2个，则经过5次分裂后的细胞总数为63.()2增长率与存贷款利息问题(4)某厂生产总值月平均增长率为q，则年平均增长率为12q.()(5)采用单利计息与复利计息的利息都一样()感悟提升1一个区别“单利计息”与“复利计息”单利计息属于等差数列模型，复利计息属于等比数列模型复利也就是通常说的“利滚利”计算本利和的公式是本利和本金(1利率)存期，如(5)2一个防范数列的实际应用问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解，如(3)、(4)（二）典例分析考点一等差、等比数列的综合问题【例1】(2013新课标全国卷)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.解(1)设an的公差为d.由题意，得aa1a13，即(a110d)2a1(a112d)于是d(2a125d)0.又a125，所以d2或0(舍去)故an2n27.(2)令sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.规律方法对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法【训练1】(2014昆明模拟)已知数列an是公差为2的等差数列，它的前n项和为sn，且a11，a31，a71成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和tn.解(1)由题意，得a31a15，a71a113，所以由(a31)2(a11)(a71)得(a15)2(a11)(a113)解得a13，所以an32(n1)，即an2n1.(2)由(1)知an2n1，则snn(n2)，tn.考点二数列在实际问题中的应用【例2】(2012湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)解(1)由题意，得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d，an1an(150%)dand.(2)由(1)，得anan1dd2an2ddn1a1d.整理，得ann1(3 000d)2dn1(3 0003d)2d.由题意，得am4 000，即m1(3 0003d)2d4 000.解得d.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元规律方法用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论【训练2】“十一”期间，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是()a21147b21257c21368d21480解析由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构造以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an42n1，bnn，则上午11时30分公园内的人数为s221257.答案b考点三数列与函数、不等式的综合应用【例3】(2013安徽卷)设数列an满足a12，a2a48，且对任意nn*，函数f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x满足f0.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2，求数列bn的前n项和sn.审题路线(1)求f(x)由f0得an、an1、an2的关系式可推出数列an为等差数列根据条件求公差d得出通项an.(2)由(1)知bn分组求和得出前n项和sn.解(1)由题设可得，对任意nn*，f(x)anan1an2an1sin xan2cos x.fanan1an2an10，即an1anan2an1，故an为等差数列由a12，a2a48，解得d1，所以an21(n1)n1.(2)由bn222n2，知snb1b2bn2n2n23n1.规律方法解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点【训练3】(2014浙江五校联考)已知正项数列an的首项a11，前n项和sn满足an(n2)(1)求证：为等差数列，并求数列an的通项公式；(2)记数列的前n项和为tn，若对任意的nn*，不等式4tna2a恒成立，求实数a的取值范围解(1)因为an，所以snsn1，即1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，得n，所以ann(n1)2n1(n2)，当n1时，a11也适合，所以an2n1.(2)因为，所以，tn.tn，要使不等式4tna2a恒成立，只需2a2a恒成立，解得a1或a2，故实数a的取值范围是(，12，)考点四（创新突破5）数列中的新定义问题【典例】(2012湖北卷)定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数；f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()abcd突破1：采用特殊化思想，选定an是关键突破2：逐一验证解析利用特殊化思想，选an2n判定不妨令an2n.因为f(x)x2，所以f(an)4n.显然f(2n)是首项为4，公比为4的等比数列因为f(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比数列因为f(x)，所以f(an)()n.显然f(an)是首项为，公比为的等比数列因为f(x)ln|x|，所以f(an)ln 2nnln 2.显然f(an)是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列，故应选c.答案c反思感悟(1)本题解题的关键是抓住新定义中“对任意给定的等比数列an”这一条件将问题特殊化，即取特殊的等比数列an2n，可将问题迎刃而解(2)对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决【自主体验】1设sn为数列an的前n项和，若(nn*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列cn是首项为2，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，则d_.解析由题意可知，数列cn的前n项和为sn，前2n项和为s2n，所以22.因为数列cn是“和等比数列”，即为非零常数，所以d4.答案42(2014肇庆二模)若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是()a130b325c676d1 300解析设两个连续偶数为2k2和2k(kn*)，则(2k2)2(2k)24(2k1)，故和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1100之间，能称为和平数的有41,43,45,47，425，共计13个，其和为413676.答案c五：课堂练习，定时训练：（选作）1、已知在等比数列an中，且 是 和 的等差中项.（1）、求数列an的通项公式；（2）、若数列bn满足 ，求 bn的前n项和sn。 2、甲、乙两间工厂的月产值在2010年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同到2010年11月份发现两间工厂的月产值又相同比较甲、乙两间工厂2011年6月份的月产值大小，则有a甲的产值小于乙的产值 b甲的产值等于乙的产值c甲的产值大于乙的产值 d不能确定解析设甲各个月份的产值为数列an，乙各个月份的产值为数列bn，则数列an为等差数列，数列bn为等比数列，且a1b1，a11b11，故a6b6，由于在等差数列an中，公差不等于0，故a1a11，上面的等号不能成立，故a6b6.答案c3、（2013 广东高考）设各项均为正数的数列的前 n项和满足，,且构成等比数列。（1） 证明：；（2） 求数列的通项公式；（3） 证明：对一切正整数n,有六、课堂点拨，归纳提升：1用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量，减少差错2理解等差数列、等比数列定义、基本量的含义和应用，体会两者解题中的区别3注意数列与函数、方程、三角、不等式等知识的融合，了解其中蕴含的数学思想4在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出