北师大版必修五 数列求和 教案 .doc

数列求和一、教学目标：1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.二、教学重点：裂项相消法、错位相减法三、教学难点：确定数列的通项公式选择相应的求和方法，错位相减法.四、教学过程：（一）考点知识点梳理1、数列求和的常用方法(1)裂项相消法形如的数列求和，其中是关于的一次函数.方法：裂项相消法，即把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见的拆项公式(1)；(2)；(3).(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的(3)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的辨 析 感悟 (1)当n2时，.()(2)求sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1sin2 2sin2 3sin2 88sin2 8944.5.()(4)(2014南京调研改编)若sn1234(1)n1n，则s5025.()感悟提升两个防范一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如 (2)中a需要分a0，a1，a1且a0三种情况求和，只有当a1且a0时可用错位相减法求和.（二）典例分析考点一裂项相消法求和【例1】求和：解：数列的通项公式为【例2】(2013新课标全国卷)已知等差数列an的前n项和sn满足s30，s55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)设an的公差为d，则snna1d.由已知可得解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.规律方法使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的注意：对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什么？裂通项。练习：1、求和.2、（资料【训练2】）(2013滨州一模)已知数列an的前n项和是sn，且snan1(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog(1sn1)(nn*)，令tn，求tn.解(1)当n1时，a1s1，由s1a11，得a1，当n2时，sn1an，sn11an1，则snsn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2)故数列an是以为首项，为公比的等比数列故ann12n(nn*)(2)因为1snann.所以bnlog(1sn1)logn1n1，因为，所以tn.考点二错位相减法求和【例3】 (2013湖南卷)设sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1s1sn，nn*.(1)求a1，a2，并求an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和审题路线(1)令n1求a1令n2求a2利用ansnsn1(n2)推导an与an1的关系式由an与an1的递推式求an.(2)由(1)知数列nan错位相减法求和得出结论解(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.又因为a10，所以a11，从而sn2an1，令n2得2a21s21a2.解得a22.当n2时，sn12an11，两式相减得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为bn，于是bn122322n2n1，2bn12222323n2n.得bn12222n1n2n2n1n2n.从而bn1(n1)2n.规律方法(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写出“sn”与“qsn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“snqsn”的表达式【例4】已知数列an是等差数列，其前n项和为sn ，数列bn是等比数列，且.（1）、求数列an与bn的通项公式；（2）、记，证明.练习：1、求和: 2、（资料【训练3】）(2013嘉兴二模)在数列an中，a12，an13an2.(1)记bnan1，求证：数列bn为等比数列；(2)求数列nan的前n项和sn.(1)证明由an13an2，可得an113(an1)因为bnan1，所以bn13bn，又b1a113，所以数列bn是以3为首项，以3为公比的等比数列(2)解由(1)知an13n，an3n1，所以nann3nn，所以sn(3232n3n)(12n)，其中12n，记tn3232n3n，3tn32233(n1)3nn3n1，两式相减得2tn3323nn3n1n3n1，即tn3n1，所以sn.考点三 求数列|an|的前n项和问题【典例】(14分)(2013浙江卷)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|an|.规范解答(1)由题意得5a3a1(2a22)2，(2分)即d23d40.故d1或4.(4分)所以ann11，nn*或an4n6，nn*.(6分)(2)设数列an的前n项和为sn.因为d0，由(1)得d1，ann11.snn2n，(8分)当n11时，|a1|a2|a3|an|snn2n.(10分)当n12时，|a1|a2|a3|an|sn2s11n2n110.(12分)综上所述，|a1|a2|a3|an|反思感悟(1)本题求解用了分类讨论思想，求数列|an|的和时，因为an有正有负，所以应分两类分别求和(2)常出现的错误：当n11时，求|an|的和，有的学生认为就是s11110；当n12时，求|an|的和，有的学生不能转化为2(a1a2a11)(a1a2an)，导致出错答题模板求数列|an|的前n项和一般步骤如下：第一步：求数列an的前n项和；第二步：令an0(或an0)确定分类标准；第三步：分两类分别求前n项和；第四步：用分段函数形式下结论；第五步：反思回顾：查看|an|的前n项和与an的前n项和的关系，以防求错结果【自主体验】已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d，由题意，得解得或所以由等差数列的通项公式，可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)由(1)，知当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为sn.当n1时，s1|a1|4；当n2时，s2|a1|a2|5；当n3时，sns2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.当n2时，满足此式综上，sn小结：5、 课堂练习，定时训练：1、求的前n项和2、（2010山东高考）已知等差数列满足：，.的前n项和为.（）求 及；（）令（）,求数列的前n项和.3、数列中，已知点在直线yx2上， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和.六：课堂点拨，归纳提升：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.七、板书设计：课题典例分析课堂练习考点梳理例题111例题222例题333小结提升：八：课后作业，巩固提升： 1、求和。2、（2013 江西高考）正项数列an满足。（1） 求数列an的通项公式a