北师大版必修五 余弦定理 学案.doc

11.2余弦定理 学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形思考在abc中，若b30，ab2，ac2，可以先用正弦定理求出sin c.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？答案能在余弦定理b2a2c22accos b中，已知三个量acb，abc，cos b，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可梳理已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下： 设在abc中，已知a，b及a的值由正弦定理，可求得sin b.(1)当a为钝角时，则b必为锐角，三角形的解唯一；(2)当a为直角且ab时，三角形的解唯一；(3)当a为锐角时，如图，以点c为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与cd和b的大小关系：当acd时，无解；当acd时，一解；当cdab，则有ab，所以b为锐角，此时b的值唯一知识点二判断三角形的形状思考1三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？答案不需要如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2b2c2来判断cos c的正负而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说思考2abc中，sin 2asin 2b.则a，b一定相等吗？答案a，b(0，)，2a,2b(0,2)，2a2b或2a2b，即ab或ab.梳理判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)在转化条件时要注意等价知识点三证明三角形中的恒等式思考前面我们用正弦定理化简过acos bbcos a，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？答案 由余弦定理得ab，去分母得a2c2b2b2c2a2，化简得ab.梳理证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异类型一利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例1已知在abc中，a8，b7，b60，求c.解由余弦定理b2a2c22accos b，得7282c228ccos 60，整理得c28c150，解得c3或c5.引申探究例1条件不变，用正弦定理求c.解由正弦定理，得，sin a，cos a .sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b，sin c或sin c.当sin c时，csin c5；当sin c时，csin c3.反思与感悟相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个跟踪训练1在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若a，a，b1，则c等于()a1 b2 c.1 d.答案b解析由余弦定理，得cos a，c22c，c2或c1(舍)类型二利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在abc中，有(1)abcos cccos b；(2)bccos aacos c；(3)cacos bbcos a，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明证明方法一(1)由正弦定理，得b2rsin b，c2rsin c，bcos cccos b2rsin bcos c2rsin ccos b2r(sin bcos ccos bsin c)2rsin(bc)2rsin aa.即abcos cccos b.同理可证(2)bccos aacos c；(3)cacos bbcos a.方法二(1)由余弦定理，得cos b，cos c，bcos cccos bbca.abcos cccos b.同理可证(2)bccos aacos c；(3)cacos bbcos a.反思与感悟证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系跟踪训练2在abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，求证：.证明方法一左边，右边，等式成立方法二右边左边，等式成立类型三利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3在abc中，已知(abc)(bca)3bc，且sin a2sin bcos c，试判断abc的形状解由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc，即b2c2a2bc，cos a.0a，a.又sin a2sin bcos c.由正弦、余弦定理，得a2b，b2c2，bc，abc为等边三角形引申探究将本例中的条件(abc)(bca)3bc改为(b2c2a2)2b3cc3ba2bc，其余条件不变，试判断abc的形状解由(b2c2a2)2b3cc3ba2bc，得(b2c2a2)2bc(b2c2a2)，(b2c2a2)(b2c2a2bc)0，b2c2a20或b2c2a2bc0，a2b2c2或b2c2a2bc，由a2b2c2，得a90，由b2c2a2bc，得cos a，a60，abc为等边三角形或等腰直角三角形反思与感悟(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2c2a2 2bccos a，b2c2(bc)22bc等等跟踪训练3在abc中，若b60，2bac，试判断abc的形状解方法一根据余弦定理，得b2a2c22accos b.b60，2bac，2a2c22accos 60，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2c，即bc.abc是等边三角形方法二根据正弦定理，2bac可转化为2sin bsin asin c.又b60，ac120，c120a，2sin 60sin asin(120a)，a(0，120)，整理得sin(a30)1，a30(30，150)，a3090，a60，c60.abc是等边三角形1在abc中，若b2a2c2ac，则b等于()a60 b45或135c120 d30答案c解析b2a2c22accos ba2c2ac，cos b，0b0，所以能组成锐角三角形2在abc中，若c2，b2a，且cos c，则a等于()a2 b. c1 d.答案c解析由cos c，得a1.3如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d由增加的长度确定答案a解析设直角三角形的三边为a，b，c且a2b2c2，则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20，此时新三角形的最大角为锐角故新三角形是锐角三角形4在abc中，sin asin bsin c323，则cos c的值为()a. bc. d答案a解析由sin asin bsin c323，可得abc323.不妨设a3k，b2k，c3k(k0)，则cos c.5在abc中，若a2bc，则角a是()a锐角 b钝角c直角 d不确定答案a解析cos a0，0aa，cb，角c最大由余弦定理，得c2a2b22abcos c，即3791624cos c，cos c.0c180，c120.abc的最大内角为120.故选a.二、填空题7在abc中，a2b2bc，sin c2sin b，则a_.答案30解析由sin c2sin b，根据正弦定理，得c2b，把它代入a2b2bc，得a2b26b2，即a27b2.由余弦定理，得cos a，又0a0，a，最大边为2a1.三角形为钝角三角形，a2(2a1)2(2a1)2，化简得0a2a1，a2，2a8.9abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，asin acsin casin cbsin b则角b_.答案45解析由正弦定理，得a2c2acb2，由余弦定理，得b2a2c22accos b，故cos b.又因为b为三角形的内角，所以b45.10在abc中，若a2，bc7，cos b，则b_.答案4解析在abc中，由b2a2c22accos b及bc7，知b24(7b)222(7b)()，整理得15b600.所以b4.三、解答题11在abc中，求证：.证明因为右边cos bcos a左边所以.12在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知cos 2c.(1)求sin c的值；(2)当a2,2sin asin c时，求b及c的长解(1)cos 2c12sin2c，0c，sin c.(2)当a2,2sin asin c时，由正弦定理，得c4.由cos 2c2cos2c1及0c0)，解得b或2，或13在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知bcos c(2ac)cos b.(1)求角b的大小；(2)若b2ac，试确定abc的形状解(1)由已知及正弦定理，得sin bcos c(2sin asin c)cos