北师大版必修四 向量的概念及表示 学案.doc

第2章 平面向量1民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班每次飞行都是民航客机的一次位移由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)2某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是 平均出手角度43.242，平均出手速度大小为v28.35 m/s(如图乙)3起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起问题1 上述实例中的“位移”、“速度”、“力”与生活中，我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？提示 “位移”、“速度”、“力”既有大小，又有方向；长度、面积、重量只有大小，没有方向问题2 如何表示上述既有大小又有方向的量？提示 用有向线段表示向量的基本概念定义既有大小又有方向的量称为向量表示方法(1)几何表示 向量常用一条有向线段 表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以a为起点、b为终点的向量记为；(2)字母表示 用小写字母a，b，c表示模向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作 几类向量定义模(大小)方向零向量长度为0的向量，记作00任意的单位向量长度等于1个单位长度的向量1与起点、终点位置有关平行向量(共线)向量方向相同或相反的非零向量，亦称共线向量，规定零向量与任一向量平行不定相同或相反相等向量长度相等且方向相同的向量相等相同相反向量长度相等且方向相反的向量相等相反1对向量的理解向量不同于数量，数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性且不能比较大小2对相等向量的理解(1)平面向量a与平面向量b相等，并不要求它们有相同的起点与终点(2)将相等向量的起点平移到同一点，则这时它们的终点必重合所以我们可以说 一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”(3)若，则，我们应该理解向量相等是可传递的3共线向量的理解(1)平行(共线)的概念不是平面几何中平行概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条直线上无关(2)平行向量就是共线向量，任何一组平行向量都可移到同一条直线上 例1给出下列命题 (1)若 a b ，则ab或ab；(2)向量的模一定是正数；(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(4)向量与是共线向量，则a、b、c、d四点必在同一直线上其中正确命题的序号是_思路点拨解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假精解详析(1)错误由 a b 仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系(2)错误.0的模为零(3)正确对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的(4)错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量、必须在同一直线上答案(3)一点通理解向量的有关概念时，注意加以辨析 向量共线(平行)即表示共线(平行)向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以是平行的；而有向线段共线，即在同一直线上，有向线段平行，即所在直线是平行的 1下列物理量中不是向量的有_(填序号)质量速度位移力加速度路程密度功解析 由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量答案 2下列命题中，正确的是_(填序号)若 a b ，则ab若 a b ，则ab若ab，则a与b共线若ab，则a一定不与b共线解析 向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此不正确两个向量的模相等，但方向不一定相同，因此不正确相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此正确对于选项，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故不正确答案 3.给出以下5个条件 ab； a b ；a与b的方向相反； a 0或 b 0；a与b都是单位向量其中能使a与b共线的是_(填所有正确的序号)解析 根据相等向量一定是共线向量知正确； a b 但方向可以任意，不成立；a与b反向必平行或重合，成立；由 a 0或 b 0，得a0或b0.根据0与任何向量共线，得成立；两单位向量的模相等但方向不定，不成立答案 例2如图所示，a1，a2，a8是o上的八个等分点，则在a1，a2，a8及圆心o九个点中以任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？思路点拨(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算与(i1,2，8)两类，一般地我们易想到(i1,2，8)这8个，而易遗漏(i1,2，8)这8个(2)圆内接正方形的一边对应了长为的两个向量，例如边a1a3对应向量与，因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算认为满足条件的向量个数为8是错误的精解详析(1)模等于半径的向量有两类，一类是 (i1,2，8)共8个；另一类是 (i1,2，8)也有8个两类合计16个(2)以a1，a2，a8为顶点的o的内接正方形有两个，一个是正方形a1a3a5a7；另一个是正方形a2a4a6a8在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍所以模为半径的倍的向量共有42216个一点通(1)准确画出向量的方法 确定向量的起点；确定向量的方向；根据向量的长度确定向量的终点(2)向量的表示方法 向量的几何表示在研究向量运算时，为应用向量处理几何问题打下了基础；字母表示便于向量的运算4下图中，小正方形的边长为1，则 _； _； _.解析 根据勾股定理可得 3， ， 2.答案 325.如图所示，已知ad3，b，c是线段ad的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有_解析 满足条件的向量有以下几类 模长为2的向量有 ，；模长为3的向量有 ，.答案 ， 6如图，已知正方形abcd边长为2，o为其中心，则 _.解析 由于正方形的对角线长为2， .答案 例3如图，d，e，f分别是正三角形abc各边的中点(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量思路点拨相等向量考虑向量的方向和大小，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向精解详析(1)与长度相等的向量是，.(2)与相等的向量是，.(3)与共线的向量是，；与共线的向量是，.一点通向量有两个要素 一是大小，二是方向两个向量只有当它们的模相等，同时方向相同时才称为相等的向量即ab就意味着 a b ，且a与b的方向相同还要注意到零向量与零向量是相等向量7如图，四边形abcd为正方形，bce为等腰直角三角形，图中与共线的向量有_；图中与相等的向量有_；图中与模相等的向量有_；图中与相等的向量有_；图中与互为相反向量的有_解析 abcd，a，b，e三点共线，与，、共线abbe，且与方向相同，.abbccddabe， .ec綊bd，. ，且与方向相反与互为相反向量答案 ，、， 8.如图，在四边形abcd中，且 ，则四边形abcd为_解析 由，可得abdc且abdc，所以四边形abcd为平行四边形又 ，所以abad.所以四边形abcd为菱形答案 菱形9如图，d，e，f分别是abc各边上的中点，四边形bcmf是平行四边形，请分别写出 (1)与模相等且共线的向量；(2)与相等的向量解 (1)与模相等且共线的向量有 ，.(2)与相等的向量有，.1解决共线向量问题应注意以下几点(1)规定零向量与任意向量平行，由于零向量的方向不确定，因而在解题时，要特别注意向量为零的情况(2)两个非零向量共线或平行有以下四种情况 两个向量方向相同且模相等；两个向量方向相反且模相等；两个向量方向相同模不相等；两个向量方向相反且模不相等通过以上的分析得出共线向量与相等向量是两个不同的概念，其区别在于相等向量的模和方向均相同，而共线向量的模的大小关系不确定，方向相同还是相反也不确定(3)平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条直线上无关2向量平行与直线平行的区别(1)直线的平行具有传递性，即ab，bcac.(2)向量的平行不具有传递性，即若ab，bc，则未必有ac，因为若b0，它与任意向量共线，故a，c两向量不一定共线课下能力提升(十三)一、填空题1关于零向量，下列说法中正确的是_零向量是没有方向的零向量的长度是0零向量与任一向量平行零向量的方向是任意的解析 零向量的方向是任意的，故错误答案 2给出下列五个命题 两个向量相等就是它们的起点相同，终点相同；若，则abcd是平行四边形；平行四边形abcd中，一定有；若mn，n ，则m .其中不正确的命题是_(填序号)解析 两向量相等不一定起点相同，终点相同，故不正确也不正确，因为a，b，c，d可能在同一条直线上零向量方向不确定，它与任一向量都平行正确答案 3已知a，b，c是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m_.解析 a，b，c不共线，与不共线又m与，都共线，m0.答案 04如图，o是正三角形abc的中心；四边形aocd和aebo均为平行四边形，则与向量相等的向量有_；与向量共线的向量有_；与向量的模相等的向量有_(填图中所画出的向量)解析 o是正三角形abc的中心，oaoboc，结合相等向量及共线向量定义可知 与相等的向量有；与共线的向量有、，与的模相等的向量有、，.答案 ， 5如图所示，已知四边形abcd是矩形，o为对角线ac与bd的交点，设点集mo，a，b，c，d，向量的集合t p，qm，且p，q不相等，则集合t有_个元素解析 以矩形abcd的四个顶点及它的对角线交点o五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5420(个)但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量各不相等，即为 ()， ()， ()， ()， ()， ()， ()， ()，由元素的互异性知t中有12个元素答案 12二、解答题6如图，四边形abcd与abec都是平行四边形(1)图中与向量相等的向量有哪些？(2)图中与向量共线的向量有哪些？解 (1)与向量相等的向量有，；(2)与向量共线的向量有，.7下图是43的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格顶点处的向量中，试问 与向量相等的向量共有几个？与向量相反的向量共有几个？与向量平行且模为的