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封面杨氏双缝干涉的MATLAB仿真 摘要：根据杨氏双缝干涉实验理论，构建数学模型，基于MATLAB平台设计和开发模拟软件，模拟出可见光范围内任意波长单色光的杨氏双缝干涉图像，同步绘制出光强分布曲线，并借助图像形象直观地解释了干涉条纹间距与波长的关系，使课堂教学过程由枯燥变生动，帮助学习者更好地认识和理解光的干涉现象及其理论。关键词：杨氏双缝干涉; MATLAB; 光强分布; 计算机仿真1 引言众所周知,光学实验对仪器的稳定性要求很高,实验平台要求防震,对于复杂光路的搭建和实验仪器的调试非常耗费时间,而且环境的温度、湿度都对实验效果有一定影响，并且由于仪器和场所的限制，一些实验无法完成，这就为理论研究带来了困难。例如在中学物理课堂教学中，光学现象（如“光的干涉”）只有通过极为细心的观察才能把握，经过认真的分析才能理解，然而对于观察能力还不够强的学生来说，是件很困难的事情。若能对这些光学实验现象进行模拟，适当延长过程的时间，让学生有比较充裕的时间对实验现象进行观察和分析，就能帮助学生加深对物理现象和规律的理解，掌握物理现象的本质，从而提高教学效果。计算机软硬件技术的不断提高，计算机图形学和图像处理的飞速发展，使可视化仿真的多媒体技术日趋成熟。Mathworks 公司于1984年推出了一套高性能的数值计算和可视化仿真软件“MATLAB” ，该软件提供了简单、高效的编程环境，可以对抽象的物理模型进行仿真。在构建物理模型的前提下，利用MATLAB的计算、声音、图像、动画等功能可以模拟物理现象，诠释物理规律，演示运动过程，并由此构建学生自主探索问题和解决问题的平台。文献资料显示，许多的教学工作者从不同层面将MATLAB应用于光学课堂教学中，做出了许多的研究成果。例如：有研究者利用MATLAB的图形用户界面与数据处理能力，对热学及力学现象中的布朗运动和简谐振动、光学现象中的单缝衍射、电磁学现象中的等量异种电荷电场线进行可视化仿真，同时拟合处理实验数据1；有研究者构建插值函数从而建立可见光波长与MATLAB 色谱矩阵的映射关系，将干涉图样的强度分布变成色谱矩阵,实现杨氏双缝干涉现象的计算机仿真2；有研究者基于MATLAB实现了牛顿干涉和光栅衍射现象的仿真 3；有研究者利用 MATLAB软件的GUI用户界面交互功能对夫琅和费圆孔衍射现象进行模拟4；有研究者利用MATLAB对单色光双缝干涉实验现象进行仿真，绘制出不同波长、不同屏缝间距、不同双缝间距的单色光干涉条纹5；有研究者绘制了单色光和非单色光干涉的仿真图像，并同步计算相应的条纹间距及对比度6；有研究者利用MATLAB模拟仿真单色光杨氏双缝干涉，绘制出单色光强度分布曲线、二维干涉条纹分布及三维强度分布7；有研究者用MATLAB语言模拟光照模型、牛顿环干涉条纹和平面光栅衍射现象8；有研究者从波动光学和量子物理角度分析杨氏双缝干涉实验，编写MATLAB程序模拟相应的干涉图样，形象展示了光的波粒二象性9。通过对目前计算机仿真光学实验的现状和相关研究的分析，本文将用MATLAB编程对可见光范围内任意波长单色光杨氏双缝干涉实验现象进行仿真，通过自由输入不同实验参数，得到相应的干涉图样和光强分布曲线图，使双缝干涉现象直观化，便于比较不同实验参数对实验的影响。用仿真结果来验证理论分析和实验结果，在课堂教学中借助计算机模拟技术，帮助学生了解和理解所学知识。2 杨氏双缝干涉的实验原理和数学模型杨氏双缝干涉实验是利用分波振面法获得相干光束的典型例子，如图 1 所示，在普通单色光光源后放一狭缝,后又放有与平行且等距离的两平行狭缝和，单色光通过两个狭缝和射向屏幕，相当于位置不同的两个同频率同相位光源向屏幕照射的叠合，由于到达屏幕各点的距离（光程）不同引起相位差，叠合的结果是在有的点加强，在有的点抵消，造成干涉现象10，11。图1 杨氏双缝干涉原理图Figure 1 schematic diagram of Youngs Dual-slit Interference根据杨氏双缝干涉实验原理图12，我们以频率是单值、振幅不随传播距离变化的单色光来建立杨氏双缝干涉现象的数学模型。单色的简谐波，它可用余弦函数来表示。如图1所示，设有两个这样的波，从空间两定点和发出，振源的振动可用(1)和(2)式来表示： （1） （2）式中和分别为和两点振动的初相位，此后当两列波同时到达点时，点的振动可用(3)和(4)式来表示： （3） （4）式中，和是两波在和两段路程上的传播速度。两波在点相遇后，在任意时刻的相位差为： （5）式中为两波在真空中的波长，和为两波沿着和传播时所经路程上介质的折射率，为真空中波的传播速度。那么在最简单的情况下（,）,(5)式简化为： （6）从图1可以推导得出： （7） （8）在点从和发出的光波在该点叠加产生的光强度为： （9）式中和分别为两光波在屏幕上的光强度，若实验装置中和两个小孔大小相等，则有，所以： （10）从图1可以推导出点位置、缝宽、屏缝距离、光程差之间的关系为： （11）当两列光波的光程差为波长的整数倍，即时才会出现亮纹，即亮条纹中心位置为： （12）相邻两个亮条纹或暗条纹的中心间距是 （13）3 单色光杨氏双缝干涉实验现象的MATLAB仿真3.1 仿真程序的设计方案仿真程序设计方案包括七个方面：实验参数确定、干涉图像的坐标量化、干涉图像中任意点的光强及相对光强计算、单色光波长到干涉图像RGB值的映射、干涉图像色谱矩阵的建立、干涉图像的绘制、光强变化曲线绘制。第一方面（实验参数确定）：实验参数中单色光波长、缝宽、屏缝距离由软件使用者从键盘输入，单位统一为米，输入波长时提示波长范围为380nm至780nm，这是比较普遍认可的人类可见光波长范围；仿真的光屏区域设置为6条干涉条纹的间距，即在光屏上以O点为中心，上下各可以显示某波长单色光3条干涉条纹，条纹间距的计算见公式（13）。第二方面（干涉图像的坐标量化）：以图1中光屏竖直方向为x轴，将光屏高度分为200等分，共取201个位置，光屏水平方向为y轴，取值范围=-0.5,0.5。第三方面（干涉图像中任意点的光强及相对光强计算13 14）：按照公式（10）计算出光屏上201个位置处的光强，其中取为1；考虑到光强会影响干涉条纹的明暗效果，必须将光强值乘到干涉图像的RGB色谱矩阵中去，MATLAB的RGB取值范围必须是0,1,而实际光强值可能会大于1，直接将光强值乘到干涉图像的RGB色谱矩阵中会导致RGB值超限，为了解决这一问题，在光强值的基础上计算出一个取值范围在0,1区间的相对光强值，采用相对光强值来构建干涉图像的RGB色谱矩阵。位置处的相对光强计算公式为： （14）第四方面（单色光波长到干涉图像RGB值的映射）：不同波长的单色光产生的干涉图像的色彩是不同的，为了较为真实地模拟出干涉图像的色彩，需要建立单色光波长与色彩RGB值（0-255）之间的映射关系。这方面的研究工作没有严格的理论模型，基本上是按照单色光光谱（波长范围与颜色的对应关系）构建大致的波长与RGB映射，研究者们提出了一些映射的方法，有研究者提出通过构建插值函数建立可见光波长与MATLAB色彩RGB值的映射关系2，有研究者提出根据CIE色度图来解决各种波长光的计算机色彩显示问题，有研究者提出带修正系数的映射模型。本文采用带修正系数的映射模型来解决单色光波长到干涉图像RGB值的映射问题，比如当波长在380nm到439nm（紫光）时，R= -(- 440nm) / (440nm -380nm)，G=0.0，B=1.0然后根据修正因子factor、Gamma进行RGB值修正。第五方面（干涉图像色谱矩阵的建立15）：标准的RGB色彩模式中RGB值取值范围是0,255，而MATLAB的图像色谱矩阵RGB值取值范围0,1，因此，需要标准RGB值除以255转换为MATLAB的RGB值；此外，为了让干涉图像能显示明暗条纹的效果，需要将相对光强信息加入图像色谱矩阵中，设IC为干涉图像的色谱矩阵，则有：IC(:,:,1)=Ir*R; IC(:,:,2)=Ir*G;IC(:,:,3)=Ir*B; 第六方面（干涉图像的绘制）：借助MATLAB的图像处理函数image绘制彩色的干涉条纹图像。第七方面（光强变化曲线的绘制）：借助MATLAB的二维绘图函数plot绘制光屏上的光强变化曲线，包括相对强度随光屏位置点变化的曲线、相对强度随相位差变化的曲线。3.2 仿真程序代码及仿真结果基于上述设计方案，编写MATLAB程序yssfgs.m和WavelenghToRGB.m来实现对杨氏双缝干涉实验现象的模拟。主程序yssfgs.m代码如下：clear,clc,close allr=input(请从键盘输入单色光的波长(单位米,范围380nm-780nm)：); d=input(请从键盘输入双缝间的间隔距离(单位米)：); D=input(请从键盘输入双缝到屏幕的距离(单位米): ); xm=D/d*r;xMax =3*xm; n = 201 ; x = linspace(-xMax ,xMax ,n) ; for i = 1 :1:nr1= sqrt (x(i)-d/2).2+D2) ; r2= sqrt (x(i)+d/2).2+D2) ; dphi(i)=2*pi*(r2-r1)/r; I(:,i)=4*cos(dphi(i)/2).2 ; endIr=I/max(I) ; R0,G0,B0=WavelenghToRGB(r); R=R0/255;G=G0/255;B=B0/255; IC(:,:,1)=Ir*R; IC(:,:,2)=Ir*G;IC(:,:,3)=Ir*B; figure subplot(3,1,1) plot(x,Ir*4,LineWidth,2) grid on axis tight fs=16; title(光的干涉强度分布，FontSize,fs)xlabel(光屏位置点itx,FontSize,fs) ylabel(相对强度tiI/Irm_0,FontSize,fs) subplot(3,1,2) plot(dphi,Ir*4,LineWidth,2) grid on axis tight set(gca,XTick,(-n:n)*2*pi) fs=16; title(光的干涉强度分布,FontSize,fs) xlabel(相差Deltaitphi,FontSize,fs)ylabel(相对强度tiI/Irm_0,FontSize,fs) subplot(3,1,3)image(x(1),x(n),-0.5,0.5,IC)axis offtitle(光的双缝干涉条纹,FontSize,fs) 运行程序，若输入实验参数为:=760nm 、d=2mm 、D=1m，得到图2（a）所示光强分布曲线和双缝干涉图样；若输入实验参数为：=400nm 、d=2mm 、D=1m，得到图2（b）所示的光的干涉强度分布和光的双缝干涉条纹。(a) =760nm d=2mm D=1m(b) =400nm d=2mm D=1m图2 不同波长单色光的干涉强度分布和干涉条纹Figure 2 different wavelengths of monochromatic lightinterference intensity distribution and the interference fringes3.3 波长对干涉条纹间距影响的直观图像对比为了能从干涉图样对比中观察总结出波长与干涉条纹间距的关系，编写程序yssfganshe_sevencolor.m，在同一幅图像上绘制出红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种单色光在同缝宽、同屏距情况下的干涉图样，如图3所示，程序代码见光盘附录。图3波长对干涉条纹间距的影响Figure 3 wavelength affection on interference fringe width4 总结与展望本文利用MATLAB模拟仿真单色光杨氏双缝干涉的物理现象，操作简单，交互参数调节方便，响应速度快，具有很高的容错能力。不仅可在课堂上方便的给出杨氏干涉实验的现象, 而且可以动态直观地展现各种物理量之间的关系, 也有利于其他光学实验和理论教学的开展。但是本软件没有实现GUI图形界面，实验参数是通过键盘输入，在一定程度上影响了本仿真程序的用户界面友好性，在后续的研究工作中将继续完善本软件的GUI用户界面。参考文献：1李仲,董松,炊万年，沈武鹏. MATLAB在大学物理课程及实验教学中的应用J.青海民族大学学报(教育科学版),2011,(5):39-43.2徐代升,陶家友,吴健辉,陈松.单色光杨氏干涉图样计算机写真J.湖南理工学院学报(自然科学版),2009,22(3):28-31.3徐弼军,胡炜，李祖樟.基于MATLAB的大学物理实验模拟J.浙江科技学院学报,2008,20(2):87-89.4王竞争,刘显龙,殷文金,郭振平,顾广瑞.基于MATLAB的光的干涉和衍射现象的模拟研究J.延边大学学报(自然科学版),2009,35(4):319-322.5庄云飞,卞雅兰.杨氏双缝干涉实验的MATLAB仿真J.科技创新与应用,2012, (8):55.6刘效勇,卢佩.杨氏双缝干涉实验的虚拟仿真实现J.石河子大学学报(自然科学版),2008,26(5):652-654.7张防震,朱亚琼.基于MATLAB杨氏干涉仿真实验J.硅谷,2011,(102):173.8王洪有.用MATLAB描述物理中的光学现象J.内江科技,2010(2):175.9毛安君,于希梅.杨氏双缝干涉实验的计算机模拟J.淮阴工学院学报,2010,19(1):17-20.10盛虹.基于MATLAB的杨氏双缝干涉实验模拟J.河南科学,2010,28(6):654-656.11陈燕,何松.杨氏双缝干涉实验的MATLAB仿真设计J.绵阳师范学院学报,2011,30(8):42-45.12姚启钧.光学教程M(2008年版).北京:高等教育出版社,2008,1415.13毛欲民,洪家平.基于MATLAB的杨氏双缝干涉实验仿真J.湖北师范学院学报(自然科学版),2007,27(1):17-20.14崔海瑛.基于MATLAB的杨氏双缝干涉实验的研究J.大庆师范学院学报，2009,29(6):95-97.15Haldar, M K. Introducing the Finite Element Method in electromagnetic to undergraduates using MATLABJ, International Journal of Electrical Engineering Education, Jul 2006,43:3-4.MATLAB Simulation For Youngs Double-slit Interference Abstract: According to youngs double-slit experiment theory, construct the mathematical model, design and develop simulation software to simulate Youngs Dual-slit Interference experiment phenomena with monochromatic light, draw luminous intensity distribution curve and interpret the relation between interference fringe and wavelength. The simulation software make teaching lively and visual, help students better understand the phenomena and theory of light interference.Key words: Youngs double-slit; MATLAB; luminous intensity distribution;computer simulation 格式要求说明：(1) A4幅面(2) 除毕业论文（设计）答辩评审表单面打印外，其它文本可双面打印(3) 论文摘要一般不宜使用图表，不标注引用文献编号, 中文摘要一般以150200个汉字为宜，英文摘要应与中文摘要基本相对应，文字表达自然流畅，无语法错误。(4) 关键词以35个为宜。每一个关键词之间用分号隔开，最后一个关键词后不使用标点符号，与中文对应。(5) 参考文献按正文中引用、参考出现的顺序列出，附于文末，理科论文应有一定数量的英文参考文献。(6) 调查问卷、公式推演、编写程序、原始数据附表等，可编入毕业论文（设计）的附录中。一般附录的篇幅不宜超过正文。(7) 上边距：2.54cm；下边距：2.54cm；左边距3.17cm；右边距：3.17cm；行间距为1.25倍行距。(8) 论文页码从正文序论部分开始，至附录，用阿拉伯数字连续编排，页码位于页面底端居中。(9) 论文（设计）题目：宋体小三号加粗，可以分为1或2行居中打印。(10) 摘要（中文）：论文题目下空一行，另起一行，首行缩进两格排印“摘要：”，宋体小四号加粗，标点符号占一格，其余内容为宋体小四号，单倍行距。(11) 关键词（中文）：摘要下另起一行，首行缩进两格排印“关键词：”，宋体小四号加粗；关键词条为宋体小四号，每个词条之间用分号隔开，最后一个后面不使用任何标点符号。(12) 各级标题：宋体小四号加粗，左起打印。各级标题理科以“1”、“1.1”、“1.1.1”等数字依次标出(13) 正文文本：宋体小四号，除各级标题外，每段首行缩进两格。(14) 每幅插图均应有图题(由图号和图名组成)。图题置于图下居中，图题中文字体为五号楷体。采用中英文对照时，为Times New Roman五号字体，另起一行居中，与中文图题对应。图号按全文出现顺序以阿拉伯数字编排。图中若有分图时，分图号用(a)、(b)等置于分图之下。引用图应说明出处，在图题右上角加参考文献号。(15) 每个表格应有自己的表号和表题，构成表头。表格按全文出现的顺序以阿拉伯数字编号，表头以宋体五号加粗，位于表上居中，采用中英文对照时，为Times New Roman五号字体，另起一行居中，与中文表题对应。表头与表格为一整体，不得拆开排写于两页。表内须按规定的符号注明单位。表格格式范例表1 所罗门学习风格分类Ta