北师大版必修四 2.7 向量应用举例1 学案.docx

2.7向量应用举例1-学案一、学习目标1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程;2.体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力二、自主学习 1向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)_.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，ab_.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos _.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|_三、合作探究 探究1：利用向量证明平行问题例1如图所示，若abcd为平行四边形，efab，ae与bf相交于点n，de与cf相交于点m.求证：mnad.回顾归纳(1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式它们的基线无公共点与前面例1比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点探究2：利用向量证明垂直问题例2如图所示，在平行四边形abcd中，bc2ba，abc60，作aebd交bc于e，求的值回顾归纳利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明探究3：直线方向向量的应用例3在abc中，a(4,1)，b(7,5)，c(4,7)，求a的平分线的方程回顾归纳直线axbyc0的方向向量为v(b，a)，法向量n(a，b)这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系求两条直线的夹角时非常有用四、学以致用 变式训练1abc中，m、n分别为ab、ac的中点求证：mnbc.变式训练2已知p是正方形abcd对角线bd上一点，pfce为矩形求证：paef且paef.变式训练3在直角坐标系xoy中，已知点a(0,1)和点b(3,4)，若点c在aob的平分线上且|2，则_.五、自主小测1在abc中，已知a(4,1)、b(7,5)、c(4,7)，则bc边的中线ad的长是()a2 b. c3 d.2点o是三角形abc所在平面内的一点，满足，则点o是abc的()a三个内角的角平分线的交点 b三条边的垂直平分线的交点c三条中线的交点 d三条高的交点3已知直线l1：3x4y120，l2：7xy280，则直线l1与l2的夹角是()a30 b45 c135 d1504若o是abc所在平面内一点，且满足|2|，则abc的形状是()a等腰三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d等边三角形5已知点a(，1)，b(0,0)，c(，0)，设bac的平分线ae与bc相交于e，那么有，其中等于()a2 b. c3 d6已知非零向量与满足0且，则abc的形状是()a三边均不相等的三角形 b直角三角形c等腰(非等边)三角形 d等边三角7如图，在abc中，点o是bc的中点，过点o的直线分别交直线ab、ac于不同的两点m、n，若m，n，则mn的值为_8已知平面上三点a、b、c满足|3，|4，|5.则_. 参考答案1bbc中点为d，|.2d，()0.0.obac.同理oabc，ocab，o为垂心3b设l1、l2的方向向量为v1，v2，则v1(4，3)，v2(1，7)，|cosv1，v2|.l1与l2的夹角为45.4b|，|2|，|，四边形abdc是矩形，且bac90.abc是直角三角形5c如图所示，由题知abc30，aec60，ce，3，3.6d由0，得角a的平分线垂直于bc.abac.而cos，又，0，180，bac60.故abc为正