北师大版必修4 向量的数乘 教案.doc

向量的数乘1.掌握向量数乘的运算及其几何意义.(重点)2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.基础初探教材整理1向量的数乘定义阅读教材p68第一、二、三个自然段，完成下列问题.一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|a|；(2)当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当a0时，a0；当0时，a0.实数与向量a相乘，叫做向量的数乘.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)a0，则0.()(2)对于非零向量a，向量3a与向量3a方向相反.()(3)对于非零向量a，向量6a的模是向量3a的模的2倍.()【解析】(1)若a0，则0或a0，(1)错误.(2)正确.(3)|6a|6|a|，|3a|3|a|，(3)正确.【答案】(1)(2)(3)教材整理2向量数乘的运算律阅读教材p68倒数第2自然段，完成下列问题.1.(a)()a；2.()aaa；3.(ab)ab.1.5(4a)_.【解析】5(4a)5(4)a20a.【答案】20a2.ae12e2，b3e12e2，则ab_.【解析】ab(e12e2)(3e12e2)4e1.【答案】4e1教材整理3向量共线定理阅读教材p70，完成下列问题.如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.1.已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是_.a2e1，b2e2；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.【解析】e1与e2不共线，不正确；对于有b2a；对于有a4b；不正确.【答案】2.已知a5b，2a8b，3(ab).则与_.【解析】2a8b3(ab)a5b，与共线.【答案】共线小组合作型向量数乘的基本运算计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac).【精彩点拨】利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并.【自主解答】(1)原式18a12b18a9b3b.(2)原式abaabababa0.(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解. 再练一题1.若向量a3i4j，b5i4j，则3(2ba)_.【解析】原式ab3a2b2baab(3i4j)(5i4j)(115)ij16ij.【答案】16ij向量的共线问题已知非零向量e1，e2不共线. (1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：a，b，d三点共线.(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值.【精彩点拨】对于(1)，欲证a，b，d共线，只需证存在实数，使即可；对于(2)，若ke1e2与e1ke2共线，则一定存在实数，使ke1e2(e1ke2).【自主解答】(1)证明：e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共线，且有公共点b，a，b，d三点共线.(2)ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.1.证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据.2.若a，b，c三点共线，则向量，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系.而向量共线定理是实现线性关系的依据.再练一题2.设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若a，b，d三点共线，求k的值.【解】(2e1e2)(e13e2)e14e2.因为a，b，d三点共线，故存在实数，使得，即2e1ke2(e14e2)e14e2.由向量相等的条件，得解得k8，所以k8.探究共研型向量共线的有关结论探究1已知o为平面abc内任一点，若a，b，c三点共线，是否存在，r，使o，其中1?【提示】存在，因a，b，c三点共线，则存在r，使，()，(1).令1，则，且1.探究2已知o为平面abc内任一点，若存在，r，使，1，那么a，b，c三点是否共线？【提示】共线，因为存在，r，使，且1，1，(1)，()，a，b，c三点共线.如图2220所示，已知oab中，点c是以a为对称中心的b点的对称点，d是把分成21的一个内分点，d c和oa交于e，设a，b.图2220(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值. 【精彩点拨】由已知得a为bc中点，d为ob的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决.【自主解答】(1)依题意，a是bc中点，2，即22ab，2abb2ab.(2)若，则a(2a b)(2)ab.与共线，存在实数k，使k，(2)abk，解得.用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想.再练一题 3.如图2221，在oadb中，设a，b，.试用a，b表示，及.图2221【解】由题意知，在oadb中，()(ab)ab.则babab，()(ab)ab，(ab)abab.1.已知mr，下列说法正确的是_. 若ma0，则必有a0；若m0，a0，则ma与a方向相同；m0，a0，则|ma|m|a|；若m0，a0，则ma与a共线.【解析】错.若ma0，则m0或a0.错.m0时，ma与a同向，m0时，ma与a反向.错.|ma|m|a|，m0时，|ma|m|a|；m0时|ma|m|a|.【答案】2.abc中，e，f分别是ab、ac的中点，且a，b，则_(用a，b表示).图2222【解析】(ba).【答案】(ba)3.平面向量a，b共线的等价条件是_.(填序号)a，b方向相同；a，b两向量中至少有一个为零向量；存在r，ba；存在不全为0的实数1，2，使1a2b0.【解析】由两个非零向量a，b共线的条件，即由向量共线定理可知，不是a，b共线的等价条件，是.【答案】 4.若|a|3，b与a反向，|b|2，则a_b.【解析】b与a反向，ab，0.又|a|3，|b|2，|a|b|，ab.【答案】5.计算：(1)8(2abc)6(a2bc)2(2ac)；(2