北师大版必修四 2.4 平面向量的坐标2 学案.docx

2.4平面向量的坐标2-学案一、学习目标（1）理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算；（2）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 二、自主学习 1平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解正交分解是向量分解中常见的一种情形2平面向量的坐标表示(1)向量的直角坐标如图在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标(2)向量的坐标表示在向量a的直角坐标中，显然有x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量的坐标表示(3)在向量的直角坐标中，显然有i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)温馨提示：在平面直角坐标系中，平面内的点，以原点为起点的向量，有序实数对三者之间建立一一对应关系，关系图如图所示：3平面向量的坐标运算文字符号加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差若a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab(x1x2，y1y2)数乘向量实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若a(x，y)，r，则a(x，y)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标已知向量的起点a(x1，y1)，终点b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)温馨提示：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算三、合作探究 探究1;向量的坐标表示【例1】 已知o是坐标原点，点a在第一象限，|4，xoa60，求向量的坐标思路探索 本题主要考查平面向量的正交分解的坐标表示，利用三角函数知识将分解到x轴，y轴上解设点a(x，y)，则x|cos 604cos 602，y|sin 604sin 606，即a(2，6)，(2，6)规律方法求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标探究2;向量的坐标运算【例2】 已知a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，且有cpaqb.试求实数p，q的值思路探索 首先用a，b的坐标求出paqb的坐标，然后利用相等向量的坐标相同建立方程组即可求得p，q的值解a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，paqbp(1,2)q(1，1)(pq,2pq)cpaqb，解得故所求p，q的值分别为1,4. 规律方法(1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组)四、学以致用 1.在直角坐标系xoy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|2，|b|3，|c|4，分别求它们的坐标解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos 452，a2|a|sin 452；b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203；c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.因此a(，)，b，c(2，2)2.已知a(2，4)，b(1,3)，c(3,4)，若23，求点m的坐标解由a(2，4)，b(1,3)，c(3,4)，可得(23，44)(1，8)，(13,34)(4，1)，则232(1，8)3(4，1)(2，16)(12，3)(14，19)设点m的坐标为(x，y)，则(x3，y4)由相等向量坐标相同可得解得点m的坐标为(11，15)易错辨析考虑问题不全面而出错【示例】 已知a(3,2)、b(5,4)、c(6,7)，求以a、b、c为顶点的平行四边形的另一个顶点d的坐标错解 设d点的坐标为d(x，y)，则由，可得(53,42)(6x,7y)，解得x4，y5.故所求顶点d的坐标为d(4,5)错因分析 只考虑了一种情况，还有另外两种情况没有考虑正解 设d点的坐标为d(x，y)若是平行四边形abcd，则由，可得(53,42)(6x,7y)，解得x4，y5.故所求顶点d的坐标为d(4,5)若是平行四边形abdc，则由，可得(53,42)(x6，y7)，解得x8，y9.故所求顶点d的坐标为d(8,9)若是平行四边形acbd，则由，可得(63,72)(5x,4y)，解得x2，y1.故所求顶点d的坐标为d(2，1)综上可得，以a、b、c为顶点的平行四边形的另一个顶点d的坐标是(4,5)或(8,9)或(2，1)防范措施 “求以a、b、c为顶点的平行四边形abcd的第四个顶点的坐标”与“求以a、b、c为顶点 的平行四边形的另一个顶点的坐标”是有区别的前者的d点位置确定了，四点a、b、c、d是按同一(顺时针或逆时针)排列的，后者的d点位置没有确定，应分三种情况进行讨论.五、自主合作1已知a(3,1)，b(2，1)，则的坐标是()a(2，1) b(2,1) c(1,2) d(1，2)2若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的坐标是()a(5,3) b(4,3) c(8,3) d(0，1)3已知(2，1)，(4,1)则_.4已知a(1,1)且axiyj，则x_，y_.5已知a(2,0)，a(x3，x3y5)，o为原点，若a，求x，y的值 参考答案1.解析(3,1)(2，1)(32,11)(1,2)答