北师大版选修12 第四章 1 数系的扩充与复数的引入 作业.doc

1数系的扩充与复数的引入对应学生用书p37数的概念的扩展已知方程(1)x22x20，(2)x210.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有问题3：若有一个新数i满足i21，试想方程x210有解吗？提示：有解xi，但不是实数1复数的概念2复数集复数的全体组成的集合，记作c.显然rc.复数的相等问题1：若a，b，c，dr且ac，bd，复数abi和cdi相等吗？提示：相等问题2：若abicdi那么实数a，b，c，d有何关系？提示：ac，bd.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以问题2：复数zabi(a，br)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应问题3：在平面直角坐标系中点z(a，b)与向量(a，b)有何对应关系？提示：一一对应关系问题4：复数zabi(a，br)与有何对应关系？提示：一一对应1复平面(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴(2)任一个复数zabi(a，br)与复平面内的点z(a，b)是一一对应的这是复数的几何意义一个复数zabi(a，br)与复平面内的向量(a，b)是一一对应的2复数的模设复数zabi(a，br)在复平面内对应的点是z(a，b)，点z到原点的距离|oz|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|.1注意复数的代数形式zabi中a，br这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部2表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系对应学生用书p38复数的基本概念例1复数z(m23m2)(m2m2)i，求当实数m为何值时：(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？思路点拨分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断精解详析(1)当m2m20，即m2或m1时，z为实数(2)当m2m20，即m2且m1时，z为虚数(3)当即m2时，z为纯虚数一点通(1)研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，初学者易忽略这一点(2)对于纯虚数的问题，除了实部为零之外，勿忘其虚部必须不为零1已知复数：2，i,0i,5i8，i(1)，其中纯虚数的个数为()a0b1c2 d3解析：已知的5个复数中，纯虚数为i，i(1)，共2个答案：c2若复数z(x21)i为纯虚数，则实数x的值为()a1 b0c1 d1或1解析：由复数z(x21)i为纯虚数得解得x1.答案：a3下列命题中：若ar，则(a1)i是纯虚数；如果复数xyi(x，yr)是实数，则x0，y0；若a，br，且ab，则aibi；若两个复数实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等其中，正确命题的个数是()a0 b1c2 d3解析：对于，若a1时，(a1)i为实数；对于，若xyi(x，yr)是实数，则y0；对于，因为ai和bi是虚数，所以不能比较大小；由复数相等的条件可知正确答案：b复数的相等例2(1)已知(2x1)iy(3y)i，x，yr，求x与y；(2)设z11sin icos ，z2(cos 2)i.若z1z2，求.思路点拨先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解精解详析(1)根据复数相等的充要条件，得方程组得(2)由已知，得解得则2k(kz)一点通(1)两个复数相等时，应分清楚两复数的实部和虚部，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解本题就是利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了化归的思想(2)注意(1)小题的条件x，yr，若x，y未说明是实数，则不能这样解，比如若x为纯虚数，则可设xbi(br且b0)，然后再根据复数相等求相应的x，y.4若ai2bi(a，br)，i为虚数单位，则a2b2()a0 b2c. d5解析：由题意得则a2b25.答案：d5若关于x的方程x2(12i)x3mi0有实根，则实数m()a. b.ic di解析：因为关于x的方程x2(12i)x3mi0有实根，即x2(12i)x3mi0x2x3m(2x1)i0m.答案：a复数的几何意义例3已知复数z(m28m15)(m25m14)i.(1)若复数z在复平面内所对应的点在第二象限，求m的取值范围；(2)若复数z在复平面内所对应的点在第四象限，求m的取值范围思路点拨(1)位于第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0；(2)位于第四象限的点，横坐标大于0，纵坐标小于0.精解详析(1)若复数z所对应的点在第二象限，则得3m5，当m(3,5)时，复数z所对应的点在第二象限(2)若复数z所对应的点在第四象限，则得7m2，当m(7,2)时，复数z所对应的点在第四象限一点通对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点z及向量相互联系，即zabi(a，br)z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观6已知ar，且0a1，i为虚数单位，则复数za(a1)i在复平面内所对应的点位于()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析：0a1，a0且a10，故复数za(a1)i在复平面内所对应的点(a，a1)位于第四象限答案：d7已知平面直角坐标系中o是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量的坐标是()a(5,5) b(5，5)c(5,5) d(5，5)解析：向量，对应的复数分别记作z123i，z232i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2，3)，(3,2)由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)答案：b8在复平面内，求复数z，使复数z(m2m2)(m23m2)i(mr)的对应点(1)在虚轴上；(2)在实轴负半轴上解：(1)若复数z的对应点在虚轴上，则m2m20，m1或m2，此时，z6i或z0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，则解得m1，z2.复 数 的 模例4设zc，判断满足下列条件的复数z对应的点z的集合是什么图形？(1)|z|2；(2)|z|3.精解详析法一：(1)复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|2的点z的集合是以原点o为圆心，以2为半径的圆(2)满足条件|z|3的点z的集合是以原点o为圆心，以3为半径的圆及其内部法二：设zxyi(x，yr)(1)|z|2，x2y24，点z的集合是以原点o为圆心，以2为半径的圆(2)|z|3，x2y29.点z的集合是以原点o为圆心，以3为半径的圆及其内部一点通(1)解决此类问题有两种方法：根据|z|表示点z和原点间的距离，把复数条件转化为几何条件；设出复数，利用模的定义，把复数方程(不等式)转化为实数方程(不等式)(2)设出复数，把复数问题实数化，是解决复数问题的基本思想9若复数z(m2)mi的模等于2，则实数m的值为_解析：由题意得 2，即2m24m44，解得m0或2，即实数m的值为0或2.答案：0或210求复数z168i及z2i的模，并比较它们的模的大小解：z168i，z2i，|z1|10，|z2|.10，|z1|z2|.1区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别对于纯虚数bi(b0，br)不要只记形式，要注意b0.2复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数zabi(a，br)、复平面内的点z(a，b)和平面向量之间的关系可用图表示对应学生用书p401以3i的虚部为实部，以3i2i的实部为虚部的复数是()a33ib3ici d.i解析：3i的虚部为3,3i2i3i的实部为3，故z33i.答案：a2已知m，nr，mi1ni，则复数mni在复平面内对应的点位于()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析：由复数相等的定义可知m1，n1，故mni1i，则复数mni在复平面内对应的点位于第四象限答案：d3复数(a2a2)(|a1|1)i(ar)是纯虚数，则有()aa0 ba2ca1且a2 da1解析：需要a2a20，且|a1|10，a1.答案：d4已知集合a1，m1,2(m25m6)i，b2,2，若ab2，则实数m的值为()a3 b1或6c3或6 d1或3或6解析：因为ab2，所以2a且2a，从而有或解得m6或m3.答案：c5已知：复数z15i，z25bi，且|z1|z2|，则实数b的值为_解析：|z1|z2| b21b1.答案：16在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为a，b.若c为线段ab上的点，且3 ，则点c对应的复数是_解析：由于两个复数对应的点的坐标分别为a(6,5)，b(2,3)，设c点的坐标为c(x，y)(x，yr)，则由3 ，得4 ，即(8，2)4(2x,3y)，得故点c对应的复数为i.答案：i7已知复数z(m23m)(m2m6)i，当实数m为何值时，z是实数；z46i；z对应的点在第三象限？解：z(m23m)(m2m6)i，令m2m60m3或m2，即m3或m2时，z为实数m4.即m4时z46i.若z所