专题十-与几何图形有关的探究题.doc

专题十与几何图形有关的探究题 图形变化问题【例1】(2016沈阳)在ABC中，AB6，ACBC5，将ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到ADE，旋转角为(0180)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当60时，延长BE交AD于点F.求证：ABD是等边三角形；求证：BFAD，AFDF；请直接写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当DAGACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BECE的值分析：(1)由旋转性质知ABAD，BAD60即可得证；由BABD，EAED根据垂直平分线的性质即可得证；分别求出BF，EF的长即可得答案；(2)由等量代换可证BAEBAC，根据三线合一可得CEAB，从而可得CE2CH8，BE5，即可得答案解：(1)ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADE，ABAD，BAD60，ABD是等边三角形由得ABD是等边三角形，ABBD，ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADE，ACAE，BCDE，又ACBC，EAED，点B，E在AD的垂直平分线上，BE是AD的垂直平分线，点F在BE的延长线上，BFAD，AFDF由知BFAD，AFDF，AFDF3，AEAC5，EF4，在等边三角形ABD中，BFABsinBAF63，BEBFEF34(2)如图，DAGACB，DAEBAC，ACBBACABCDAGDAEABC180，又DAGDAEBAE180，BAEABC，ACBCAE，BACABC，BAEBAC，ABCE，且CHHECE，ACBC，AHBHAB3，则CE2CH8，BEAE5，BECE13几何图形中的动点问题【例2】(2016达州)ABC中，BAC90，ABAC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为_垂直_；BC，CD，CF之间的数量关系为_BCCDCF_；(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB2，CDBC，请求出GE的长分析：(2)根据正方形的性质得到BACDAF90，推出DABFAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论；(3)过A作AHBC于点H，过E作EMBD于点M，ENCF于点N，先求出AH，DH，证ADHDEM(AAS)得到EMDH，DMAH，由等量代换得到CNEM，ENCM，根据等腰直角三角形的性质得到CGBC4，根据勾股定理即可得到结论解：(2)CFBC成立；BCCDCF不成立，CDCFBC.证明：正方形ADEF，ADAF，BACDAF90，BADCAF，可证DABFAC(SAS)，ABDACF，BAC90，ABAC，ACBABC45.ABD18045135，BCFACFACB1354590，CFBC.CDDBBC，DBCF，CDCFBC(3)过A作AHBC于点H，过E作EMBD于点M，ENCF于点N，BAC90，ABAC，BCAB4，AHBC2，CDBC1，CHBC2，DH3，由(2)证得BCCF，CFBD5，四边形ADEF是正方形，ADDE，ADE90，BCCF，EMBD，ENCF，四边形CMEN是矩形，NECM，EMCN，AHDADCEMD90，ADHEDMEDMDEM90，ADHDEM，可证ADHDEM(AAS)，EMDH3，DMAH2，CNEM3，ENCM3，ABC45，BGC45，BCG是等腰直角三角形，CGBC4，GN1，EG几何图形中的动线问题【例3】(2016广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA，QD，并过点Q作QOBD，垂足为O，连接OA，OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设ySOPB，BPx(0x2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值分析：(2)证AOBPOQ，可得AO与OP的数量与位置关系；(3)根据等腰直角三角形的性质可得OE的长，根据三角形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质可得答案解：(1)四边形APQD为平行四边形(2)OAOP，OAOP.证明：四边形ABCD是正方形，ABBCPQ，ABOOBQ45，OQBD，PQO45，ABOOBQPQO45，OBOQ，可证AOBPOQ(SAS)，OAOP，AOBPOQ，AOPBOQ90，OAOP(3)过点O作OEBC于点E.如图1，当P点在B点右侧时，则BQx2，OE，yx，即y(x1)2，又0x2，当x2时，y有最大值为2；如图2，当P点在B点左侧时，则BQ2x，OE，yx，即y(x1)2，又0x2，当x1时，y有最大值为.综上所述，平移过程中OPB的面积的最大值为2 1(导学号59042307)(2016福州)如图，矩形ABCD中，AB4，AD3，M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM.(1)当AN平分MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM1时，求ABN的面积；(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值解：(1)由折叠知ANMADM，MANDAM，AN平分MAB，MANNAB，DAMMANNAB，四边形ABCD是矩形，DAB90，DAM30，DMADtanDAM3tan303(2)如图1，延长MN交AB延长线于点Q，四边形ABCD是矩形，ABDC，DMAMAQ，由折叠知ANMADM，DMAAMQ，ANAD3，MNMD1，MAQAMQ，MQAQ，设NQx，则AQMQ1x，ANM90，ANQ90，在RtANQ中，由勾股定理得AQ2AN2NQ2，(x1)232x2，解得x4，NQ4，AQ5，AB4，AQ5，SNABSNAQANNQ34(3)如图2，过点A作AHBF于点H，四边形ABCD是矩形，ABDC，HBABFC，AHBBCF90，ABHBFC，AHAN3，AB4，当点N，H重合(即AHAN)时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M，F重合，B，N，M三点共线，如图3，由折叠知ADAH，ADBC，AHBC，可证ABHBFC(AAS)，CFBH，由勾股定理得BH，CF，DF的最大值DCCF42(导学号59042308)(2016黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，OAB90且OAAB，OB，OC的长分别是一元二次方程x211x300的两个根(OBOC)(1)求点A和点B的坐标；(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O，B重合)，过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m，已知t4时，直线l恰好过点C，当0t3时，求m关于t的函数关系式；(3)当m3.5时，请直接写出点P的坐标解：(1)方程x211x300的解为x15，x26，OB6，OC5，B点坐标为(6，0)，作AMx轴于点M，OAB90且OAAB，AOB为等腰直角三角形，OMBMAMOB3，A点坐标为(3，3)(2)作CNx轴于点N，t4时，直线l恰好过点C，ON4，在RtOCN中，CN3，C点坐标为(4，3)，可求直线OC的解析式为yx，直线OA的解析式为yx，P(t，0)(0t3)，Q(t，t)，R(t，t)，QRt(t)t，即mt(0t3)(3)可求直线AB的解析式为yx6，直线BC的解析式为yx9，当0t3时，mt，若m3.5，则t3.5，解得t2，此时P点坐标为(2，0)；当3t4时，Q(t，t6)，R(t，t)，mt6(t)t6，若m3.5，则t63.5，解得t10(不合题意舍去)；当4t6时，Q(t，t6)，R(t，t9)，mt6(t9)t15，若m3.5，则t153.5，解得t，此时P点坐标为(，0)综上所述，满足条件的P点坐标为(2，0)或(，0)3(导学号59042309)(2016扬州)已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45角绕点A旋转，角的两边分别与边BC，DC的延长线交于点E，F，连接EF.设CEa，CFb.(1)如图1，当EAF被对角线AC平分时，求a，b的值；(2)当AEF是直角三角形时，求a，b的值；(3)如图3，探索EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由解：(1)四边形ABCD是正方形，BCD90，AC是正方形ABCD的对角线，ACBACD45，ACFACE，EAF被对角线AC平分，CAFCAE，可证ACFACE(ASA)，AFCE，CFCE，CEa，CFb，ab，AFCE，AEFAFE，EAF45，AEFAFE67.5，CECF，ECF90，CEFCFE45，AECAFC22.5，CAFCAE22.5，CAECEA，CEAC4，即ab4(2)当AEF是直角三角形时，若AEF90，EAF45，AFE45，AEF是等腰直角三角形，AEEF，AEBBEF90，AEBBAE90，BEFBAE，可证ABEECF(AAS)，ABEC，BECF，即aAB4，bBEBCCE8；若AFE90，同的方法知CF4，CE8，a8，b4(3)ab32.理由：如图，AC是正方形ABCD的对角线，EAF45，ACD45，ACF135，ACE135，又ACDCAFAFC，EAFEACFAC，AFCEAC，又ACFACE135，ACFECA，ECCFAC22AB232，ab321(导学号59042310)(2016随州)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图1，图2，图3中，AM，BN是ABC的中线，AMBN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”设BCa，ACb，ABc.【特例探究】(1)如图1，当tanPAB1，c4时，a_4_，b_4_；如图2，当PAB30，c2时，a_，b_；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论【拓展证明】(3)如图4，ABCD中，E，F分别是AD，BC的三等分点，且AD3AE，BC3BF，连接AF，BE，CE，且BECE于点E，AF与BE相交点G，AD3，AB3，求AF的长解：(2)a2b25c2.证明：连接MN.AM，BN是中线，MNAB，MNAB，MPNAPB，设MPx，NPy，则AP2x，BP2y，a2BC24BM24(MP2BP2)4x216y2，b2AC24AN24(PN2AP2)4y216x2，c2AB2AP2BP24x24y2，a2b220x220y25(4x24y2)5c2(3)由AAS可证AGEFGB，BGFG，取AB中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，同理可证APHBFH，APBF，PECF2BF，即PECF，PECF，四边形CEPF是平行四边形，FPCE，BECE，FPBE，即FHBG，ABF是中垂三角形，由(2)可知AB2AF25BF2，AB3，BFAD，9AF25()2，AF42(导学号59042311)(2016河南)(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb.填空：当点A位于_CB的延长线上_时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_ab_(用含a，b的式子表示)(2)应用：如图2，点A为线段BC外一动点，且BC3，AB1，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值(3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA2，PMPB，BPM90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标解：(2)CDBE，理由：ABD与ACE是等边三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60，BADBACCAEBAC，即CADEAB，可证CADEAB(SAS)，CDBE线段BE长的最大值线段CD长的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，最大值为BDBCABBC4(3)如图1，连接BM，将APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN，连接AN，则APN是等腰直角三角形，PNPA2，BNAM，A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，OA2，OB5，AB3，线段AM长的最大值线段BN长的最大值，当点N在线段BA的延长线上时，线段BN取得最大值，最大值ABAN，ANAP2，最大值为23.如图2，过P作PEx轴于E，APN是等腰直角三角形，PEAEAN，OEOAAE2，P(2，)3(导学号59042312)(2016葫芦岛)如图，在ABC中，BAC90，ABAC，点E在AC上(且不与点A，C重合)，在ABC的外部作CED，使CED90，DECE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF.(1)请直接写出线段AF，AE的数量关系_AFAE_；(2)将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；(3)在图的基础上，将CED绕点C继续逆时针旋转，请判断(2)问中的结论是否发生变化？若不变，结合图写出证明过程；若变化，请说明理由解：(2)AFAE.理由