2014-2015高数(上)复习参考题.doc

2014-2015高数（上）复习参考题2014.12.16第一章习题1-11求下列函数的自然定义域：(1) ；解：(1)解不等式组得函数定义域为;2已知函数定义域为，求的定义域解：因为定义域为，所以当时，得函数的定义域为；当时，得函数定义域为；当时，得函数定义域为：（1）若，；（2）若，；（3）若，13.习题1-3 1.(16) =2设函数,试讨论是否存在？解：因为，即，所以存在3设若极限存在，则等于什么?解：因为，所以，当，即时，存在4已知，其中为常数，求和的值解：因为，所以，则习题1-41计算下列极限：(1) ； (2) ； (3) ； (4) 解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 2计算下列极限(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 解：(2) ；(3) ；(4) 习题1-58当时，若与是等价无穷小，试求解：依题意有， 因为当时，所以，故习题1-63当取何值时，函数在处连续解：因为所以，依题意有=0.4设 其中是已知常数试选择，使为连续函数解：因为所以，若则为连续函数必要求此时可取任意实数；若则取，就可以使得为连续函数习题1-73证明：已知，求常数的值解：因为，则，所以复习题A 二、填空5. 已知为常数，则_，_.答： ，解：复习题B3当时，下列变量为无穷小的是（ ）A. ； B. ； C. ； D. 答：C第二章复习题A一.选择题1.设，则在点可导的充要条件为( )(A) 存在. (B) 存在.(C)存在. (D) 存在1.解法二：直接考虑( B )因此 应选取( B )参考答案1. 解法一：当时，关于( A )： 由此可知若在点可导成立，反之若(A)成立成立，不能成立，如满足(A)但不存在关于(D)：若在点可导成立，反之(D)成立，不能在连续，因而不能在处可导，如满足(D)，但不存在再看( C )：（解法不好）(当它们都时)注意：易求得因此，若成立反之若( C )成立不能(即)，因为只要有界，仍有( C )成立如满足(C)但不存在可以简单考虑：因此只能选( B )一 6.在处存在左、右导数，则在点( )(A) 可导 ( B ) 连续. ( C ) 不可导. ( D ) 不连续.（6）解：选（B） 7.设,则（此题有错）(A)在处必可导且 (B) 在处必连续,但未必可导.(C) 在处必E有极限但未必连续. (D) 以上结论都不对.参考答案：1、 选择题 1、(B)； 2、(C)；3、(C)；4 (B)；5 (C)；6 (D)； 7 (C); 8、(B) 9、（D）;10 、（C）;11、(D) ；12、(C); 13、（C）；14、（D）；15、（B）;第三章习 题 3.11验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。解：函数在区间上连续，在区间内可导，故在上满足拉格朗日中值定理的条件。又，解方程得。因此，拉格朗日中值定理对函数在区间上是正确的。2不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。解：函数可导，且。由罗尔定理知，至少存在使即方程有至少三个实根。又因方程为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程有且只有三个实根，分别位于区间内。4设 求证不等式： 证明：取函数在a,b上连续，在（a, b）内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点，使，即，故习 题 3.31用洛必达法则求下列极限（1） 解：（2） 解：（3） 解： （4）解： （5）解：（6） 解：（7） 解： （8）解：因为，而.所以（9）解：因为，而,所以，8. 求函数在区间上的最大值和最小值，并指明最大值与最小值点。解：9某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为问底宽为多少时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设界面周长为，已知及即故令，得驻点由知为极小值点。又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。习 题 3.81. 设函数，试求在时的边际函数值解： 因为，所以 该值表明：当时，改变一个单位(增加或减少一个单位)，约改变10个单位(增加或减少10个单位)2. 已知生产某产品Q件的成本为3. 某工厂生产一批产品的固定成本为(元)，试求：(1)边际成本函数；(2)产量为1000件时的边际成本，并解释其经济意义；(3)产量为多少件时，平均成本最小？解： (1)边际成本函数： (2)产量为1000件时的边际成本： 它表示当产量为1000件时，再生产1件产品需要的成本为60元；(3)平均成本： ， ，令0，得Q = 3000(件)由于0，故当产量为3000件时平均成本最小2000元，每增产一吨产品成本增加50元，设该产品的市场需求规律为,(P为价格)，产销平衡，试求：(1)产量为Q=100吨时的边际利润；(2)产量为多少吨时利润最大？解：由得故总收入为，总成本为，故总利润为 (1)边际利润为 当产量为Q=100吨时，边际利润为 (元)(2)令得Q = 300(吨)由于，故当产量为300吨时，利润最大第四章 习 题 4-2 1.求下列不定积分：(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(1) 解： 令，有，将回代，得.(2) 解 (3) 解：(4) 解：(5) 解： (6) 解：(8) 解：=1.(20) (21) ;(22) .(20) 解：令，则，于是 =(21) 解：设，则 (22) 解：令，则2 求下列积分：（1） ； （2）；（3）；（5）；（6） ；2.求下列不定积分（1）解：（2）解： （3）解： （4）（5）解：令，则， 原式 （6）解：因为 于是（7）解：（9）解：（10）解：.因此得 .即 .（11）解：，从而 （12）解 3.已知，求函数.解 依题求得，从而有，因此.4. 已知，求不定积分.解 .第四章复习题A一、 选择题1. 设是的一个原函数，则等式（ ）成立。答案：A2. 若的一个原函数为，则为( )(A) ； (B) ； (C) ； (D )答案：B3. 若 （），则( )(A) ； (B) 2； (C) ； (D) ln答案：B4. ( )(A) () ； (B)