苏教版选修44 参数方程的应用 作业.doc

同步测控我夯基,我达标1.已知动圆x2+y2-2axcos-2bysin=0（a、b是正常数，且ab，为参数,0,2)），则圆心的轨迹是（ ）a直线 b圆 c抛物线的一部分 d椭圆解析：把圆的方程化为标准方程：(x-acos)2+(y-bsin)2=a2cos2+b2sin2，其圆心坐标为（acos,bsin），于是动圆圆心的轨迹方程为消去参数,可得1，轨迹为椭圆答案：d2.直线(t为参数）和圆x2+y2=16交于a、b两点，则ab的中点坐标为（ ）a(3,-3) b(-,3) c(,-3) d(3,-)解析：(1+t)2+(-3+t)2=16，得t2-8t+12=0.t1+t2=8,=4，中点为即答案：d3.过点（1，1），倾斜角为135的直线截椭圆所得的弦长为（ ）a. b. c. d.解析：由题意，可设直线的参数方程为代入椭圆方程中，整理得到5t2+6t10，|t1-t2|=，故所求弦长为|t1-t2|=答案：b4.抛物线x2-2y-2mx+m26m的顶点的轨迹方程是_解析：抛物线方程可化为(x-m)2=2(y+3m-1)，设其顶点坐标为(x,y)，则满足消去参数m，可得y=-3x+1，即3x+y0答案：3x+y05.求椭圆的内接矩形的最大面积思路分析：恰当选择参变量，把椭圆内接矩形面积用参数表示出来，再利用函数的性质求解解法一：椭圆的参数方程为(参数t0,2),设第一象限内椭圆上一点m(x,y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为s=4xy=45cost4sint=40sin2t当t=时，面积s取得最大值40此时x=5cos=,y=4sin=2因此，矩形在第一象限的顶点为（,2）时,内接矩形的面积最大为40解法二：设点m(x,y)是椭圆上第一象限内的点，则=1，且x，y,即()2+()22，xy10，当且仅当时取等号由椭圆的对称性知内接矩形的面积为s=4xy40，也就是内接矩形的面积的最大值为406.求椭圆上的点到直线3x+4y64的最大、最小距离思路分析：利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题解：将椭圆普通方程化为参数方程（2）,则椭圆上任一点p的坐标可设为p(5cos,9sin)，于是点到直线3x+4y的距离为,其中tan=,dmax=，此时sin(+)；dmin，此时sin(+)7.如图，已知点p是圆x2+y216上的一个动点，点a是x轴上的定点，坐标为（12，0）,当点p在圆上运动时，线段pa的中点m的轨迹是什么？思路分析：由于点m为线段pa的中点，点a的坐标已知，点p在已知圆上，故而点p的坐标可以用参数表示，所以点m的坐标也就可以表示了，由此便可以求出线段pa的中点m的轨迹方程，进而知道其轨迹解：设点m的坐标为(x,y)由于圆的参数方程为(参数0,2)，故可设点p的坐标为(4cos,4sin)由线段中点的坐标公式,得点m的轨迹参数方程为(参数0,2).线段pa的中点的轨迹是以点（，）为圆心、为半径的圆我综合,我发展8.已知a、b分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点c在该椭圆上运动，求abc的重心g的轨迹方程思路分析：abc的重心g取决于abc的三个顶点的坐标，为此需要把动点c的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式解：由题意知a（6,0)、b(0,3).由于动点c在椭圆上运动，故可设动点c的坐标为（6cos,3sin），点g的坐标设为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得即消去参数得到+(y-1)21.9.过点p(,0)作倾斜角为的直线与曲线x2+12y2=1交于点m、n，求|pm|pn|的最大值及相应的的值思路分析：设出直线的参数方程，把|pm|pn|表示成的函数解：设直线为(t为参数),代入曲线x2+12y2=1中，整理得(1+11sin2)t2+(cos)t+=0，于是|pm|pn|=|t1t2|=所以当sin2=0，即=0时，|pm|pn|的最大值为，此时=010.已知点p(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点，（1）求2x+y的取值范围；（2）若x+y+a0恒成立，求实数a的取值范围思路分析：因为所求问题中涉及到圆x2+y2=2y上动点p的坐标x与y的关系，而二者的关系可用参数表示出来，故可设出圆的参数方程，从而把（1）求2x+y取值范围的问题转化为求关于的函数的值域问题；对于（2）x+y+a0恒成立a-(x+y)恒成立amax-(x+y).解：（1）x2+y2=2y化为标准方程为x2+(y-1)2=1.设圆的参数方程为(参数0,2),则2x+y=2cos+sin+1=sin(+)+1,其中tan=21sin(+)1，-+1sin(+)+1+12x+y的取值范围为-+1,+1（2）x+y+a0恒成立a-(x+y)恒成立amax-(x+y)而-(x+y)=-(cos+sin)-1=-sin(+)-1,1sin(+)1，-1-sin(+)-1-1,即-(x+y)的最大值为-1由a-(x+y)恒成立，可知a-111.已知点a（，），过点（，）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点b、c，试探讨abc的形状思路分析：直线与圆锥曲线的相交问题常常设出交点坐标，利用整体代入法解决问题解：由抛物线的参数方程，可设b(t2,2t),c(s2,2s),st,s,t1，则直线bc的斜率为,方程为y-2t=(x-t2)因直线bc过点（5，2），代入上式，并整理得到（s+1）（t）因为kabkac=-1,所以abac，从而abc是直角三角形12.直线l：y=2x+b与椭圆交于a、b两点，当b变化时，求线段ab中点m的轨迹解：设ab中点m(x0,y0),直线l的方程为(tan，t为参数）代入椭圆方程,有，可得(2cos2+3sin2)t2+2(2x0cos+3y0sin)t+2+3-6=0.设a、b对应的参数值分别为t1、t2，则有t1+t2.又t1+t2=2x0cos+3y0sin又tan，x0y0，即x+3ym点的轨迹是直线x+3y在椭圆内部的一条线段13.已知椭圆方程为，椭圆长轴的左、右顶点分别为a1、a2，p是椭圆上任一点，引a1qa1p，a2qa2p，且a1q与a2q的交点为q，求点q的轨迹方程解：设椭圆的参数方程为（为参数，且02），则p点坐标为（acos,bsin），由题意知cos1，sin0=，=，=,=a1q的方程为y=, a2q的方程为y=(x-a). 得y2=化简整理得即为所求的轨迹方程我创新，我超越14.当s和t取遍所有实数时，(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2所能达到的最小值是多少？思路分析：观察所求式的结构，可以把它看作点（s，s）与点（3|cost|,2|sint|）的距离的平方，而这两个点的轨迹都可以用参数方程的形式写出