北师大版选修21 夹角的计算 学案.doc

5夹角的计算学习目标重难点1会求两直线间的夹角2会用向量法求两平面的夹角3会用向量法求直线与平面的夹角.重点：求两直线的夹角难点：分析所成角的大小及法向量求法关键：确定点的坐标.1直线间的夹角(1)当两条直线l1和l2_时，我们把两条直线交角中，范围在_内的角叫作两直线的夹角当直线异面时，我们在一条直线上取一点，作另一直线的_，与该直线所成的角叫作异面直线的夹角(2)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.当0s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2；当s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于_预习交流1议一议：为什么空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定？2平面间的夹角(1)平面1与2相交于直线l，点r为直线l上任意一点，过点r，在平面1上作直线_，在平面2上作直线_，则l1l2r.我们把直线_叫作平面1与2的夹角(2)已知平面1和2的法向量分别为n1和n2.当0n1，n2时，平面1与2的夹角等于_；当n1，n2时，平面1与2的夹角等于_预习交流2思考：如上图，若在直线l上选取不同于r的点p，过点p在平面1上作直线al，在平面2上作直线bl，那么直线a和b的夹角与直线l1与l2的夹角是否相等？3直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的_的夹角叫作该直线与此平面的夹角(2)如果一条直线与一个平面_，我们规定这条直线与平面的夹角为0.如果一条直线与一个平面_，我们规定这条直线与平面的夹角是.预习交流3想一想：直线与平面的夹角和该直线的方向向量s与该平面的法向量n的夹角s，n是什么关系？答案：1(1)共面平行线(2)s1，s2预习交流1：提示：空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定空间两直线的夹角与它们的方向向量的夹角有时是相等的，有时是互补的，空间两直线的夹角是取内的角2(1)l1ll2ll1和l2的夹角(2)n1，n2n1，n2预习交流2：提示：相等al1，bl2，a与b所成的角和l1与l2所成的角相等3(1)投影(2)平行或在平面内垂直预习交流3：提示：当s，n0时，；当0s，n时，s，n；当s，n时，0；当s，n时，s，n.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1求直线间的夹角如图，四棱锥pabcd中，pd平面abcd，pad60，在四边形abcd中，cdadab90，ab4，cd1，ad2.求异面直线pa与bc所成角的余弦值已知向量a(1，1,0)，b(1,0，1)，则向量a与b的夹角是()a.b.c. d.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，两条直线所成角为，则有cos |cos v1，v2|，角与v1，v2的夹角并不一定相等，它们之间的关系是相等或互补2求两平面之间的夹角在底面是直角梯形的四棱锥s abcd中，abc90，sa平面abcd，saabbc1，ad，求平面scd和平面sba所成的二面角的余弦值思路分析：可建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求解如图，在三棱锥s abc中，侧面sab与侧面sac均为等边三角形，bac90，o为bc的中点，求二面角ascb的余弦值构成二面角的平面角的三要素：“棱上”，“面内”，“垂直”即二面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可前两个元素决定了二面角的平面角在同一平面内，第三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直3求直线与平面所成的角正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为a，侧棱长为a，求ac1与侧面abb1a1所成的角思路分析：利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取a1b1的中点m，连接c1m，证明c1am是ac1与平面a1b所成的角；另一种是利用平面a1b的法向量求解1已知正三棱柱abc a1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦值等于()a. b.c. d.2已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于()a. b.c. d.1.直线与平面所成角的取值范围是.斜线和平面所成角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角2向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线l与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin |cos |或cos sin .其中与满足：当是锐角时，；当为钝角时，则.答案：活动与探究1：解：分别以da，dc，dp为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系dxyz.cdadab90，ab4，cd1，ad2，a(2,0,0)，c(0,1,0)，b(2,4,0)pd平面abcd，pdad.又pad60，在rtpad中，由ad2，得pd2，p(0,0,2)，(2,0，2)，(2，3,0)cos ，.pa与bc所成角的余弦值为.迁移与应用1：a解析：cos a，b，a，b.活动与探究2：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，d，c(1,1,0)，s(0,0,1)，平面sab的一个法向量是.设n(x，y，z)是平面scd的一个法向量，则n，n.即n0，n0.又，xy0且xz0，令x1，得n.cos，n.迁移与应用2：解：方法一：取sc中点m，连接am，om，由题意知sooc，saac，得omsc，amsc.所以oma为二面角ascb的平面角由aobc，aoso，sobco，得ao平面sbc.所以aoom.又amsa，aosa，故sinamo.那么二面角ascb的余弦值为.方法二：以o为坐标原点，射线ob，oa，os分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系o xyz.取sc的中点m，连接am，om.设b(1,0,0)，则c(1,0,0)，a(0,1,0)，s(0,0,1)sc的中点m，所以，(1,0，1)，所以0，0.故mosc，masc，等于二面角ascb的平面角cos ，所以二面角ascb的余弦值为.活动与探究3：解：方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(0，a,0)，a1，c1，取a1b1的中点m，则m.连接am，mc1，有，(0，a,0)，.由于0，0，所以mc1平面abb1a1.所以c1am是ac1与侧面a1b所成的角因为，所以02a2.而|a，|a.所以cos ，所以，30.即ac1与侧面abb1a1所成的角为30.方法二(法向量法)：接方法一，.设侧面a1b的法向量n(，x，y)，所以n0，且n0.所以ax0，且ay0，令xy0，故n(，0,0)又因为，所以cos，n.所以ac1与侧面abb1a1所成的角为30.迁移与应用3：1.a解析：如图，作b1da1c1，垂足为d，连接ad.abc a1b1c1为正三棱柱，b1d平面acc1a1，b1ad为所求的ab1与侧面acc1a1所成的角设ab2a，则b1da，ab12a.sinb1ad.2d解析：如图，o为底面正三角形abc的中心，则op平面abc.pco即为侧棱与底面所成的角设ab1，则pc2，oc，cospco.1. 在长方体abcd a1b1c1d1中，m，n分别是棱bb1，b1c1的中点，若cmn90，则异面直线ad1与dm的夹角为()a30 b45c60 d902若平面的法向量为m(1，1,3)，平面的法向量为n(0,3,1)，则平面与平面的夹角为()a30 b60c90 d1203在正四面体abcd中，e为棱ad的中点，则ce与平面bcd的夹角的正弦值为()a. b.c. d.4若平面的一个法向量为m(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b(1,1,1)，则l与所成角的余弦值为_5在一个二面角的两个面内分别有向量m(1,2,0)，n(3,0，2)，且m，n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为_答案：1d解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设d1c1a，c1b1b，c1cc.则d1(0,0,0)，a(0，b，c)，d(0,0，c)，c(a,0，c)，m，n.则，.cmn90，0.即b2c20，即b2c2.(0，b，c)b2c20.ad1与dm的夹角为90.2c解析：平面的法向量为m(1，1,3)，平面的法向量为n(0,3,1)，又mn(1，1,3)(0,3,1)0，mn，.3b解析：由于正四面体abcd，所以a点在平面bcd的投影为bcd的中心，设为o.建立如图所示的空间直角坐标系，设正四面体的棱长为a，则a，c，d，e.设平面bcd