矩阵分析习题课.doc

矩阵分析习题课第一部份 内容第一章 线性空间与线性换1、概念与性质（1）线性空间、线性子空间、向量有关概念（线性相关、线性无关、线性表出，向量组的秩、基、维数、坐标）、过渡矩阵、基坐标关系（2）子空间：和、交、直和、维数公式（3）线性空间同构，同构性质（4）线性变换、线性变换空间、线性变换的表示矩阵、不同基下线性变换表示矩阵关系、线性变换的特征值与特征向量（5）不变子空间、不变子空间与线性变换的联系2、计算 （1）求向量组的秩、空间的基、维数、向量在基下的坐标 （2）求过渡矩阵、基坐标关系求坐标 （3）求线性变换的表示矩阵 （4）求矩阵的特征值与特征向量、线性变换的特征值与特征向量第二章 内积空间1、概念与性质（1）实内积空间、复内积空间、欧氏空间、酉空间，Cauchy-Schwartz不等式、常见线性空间的内积（2）正交向量、标准正交向量、正交基、标准正交基、Gram-Schmidit直交化、子空间直交、直交补空间及性质（3）内积空间同构（4）正交变换、酉变换及等价命题、正交矩阵、酉矩阵（5）点到子空间距离、最小二乘法（6）正规矩阵、特殊的正规矩阵：Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵（7）Hermite二次型、标准型及标准化、正定、负定2、计算 （1）Gram-Schmidit直交化求正交向量组、标准正交向量组 （2）法方程解最小二乘问题 （3）化Hermite二次型为标准型 第三章 矩阵的标准形1、概念与性质（1）多项式矩阵、Smith标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及关系（2）矩阵相似对角化、酉对角化、Jordan标准形（3）Hilmilton-Cayley定理、最小多项式（4）Schur定理、QR分解、奇异值分解、满值分解2、计算 （1）求多项式矩阵的Smith标准形、行列式因子、不变因子、初等因子 （2）求矩阵的Jordan标准形、最小多项式，化矩阵的Jordan标准形 （3）利用Hilmilton-Cayley定理、最小多项式做多项式的简化计算（4）求矩阵的QR分解、奇异值分解、满值分解第四章 矩阵函数及应用1、概念与性质（1）向量范数（三种常见的向量范数）、矩阵范数（Frobenius范数、列和范数、行和范数、谱范数）、谱半径（2）向量的极限、矩阵的极限、收敛与发散（3）矩阵级数的收敛、绝对收敛与发散、矩阵幂级数（4）矩阵函数（5）函数矩阵的微分、积分（6）常见矩阵函数性质（7）常系数线性微分方程解与矩阵函数关系2、计算 （1）求向量、矩阵的常见几种范数 （2）求矩阵的极限 （3）求矩阵函数（4）求函数矩阵的微分与积分（5）解微分方程第二部份 习题1、 设是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式在基下的坐标。2、 在中，设线性变换T在基下的表示矩阵为 (1) 求T在基下的表示矩阵；(2) 求在该线性变换T下的像。3、 在中，设，线性变换，求（1）T在标准基下的表示矩阵，（2）T在一组基下的最简形式的矩阵为什么矩阵？试求一组基，使T在其下的表示矩为最简形式的矩阵。4、 证明n维线性空间V的一个有n个不同特征值的线性变换T共有个不同的不变子空间。5、 设，(1)求矩阵A的smith标准形，行列式因子、不变因子、初等因子、最小多项式，(2)求。6、 试判断如下矩阵是否相似：(1) 与(2) 与7、 求矩阵的满秩分解：8、 求矩阵的QR分解：9、 求矩阵的奇异值分解