北师大版选修21 3.4.3.2 直线与圆锥曲线的综合应用 作业.docx

第2课时直线与圆锥曲线的综合应用1.若直线mx+ny=4和o:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为()a.0或1b.2c.1d.0解析:由直线mx+ny=4和o:x2+y2=4没有交点,得4m2+n22,m2+n20)上两点,o为坐标原点.若|oa|=|ob|,且aob的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线ab的方程是()a.x=32pb.x=2pc.x=52pd.x=3p解析:方法1:设直线oa的斜率为k(k0),则由题意易知直线ob的斜率为-k,由y=kx与y2=2px可得a2pk2,2pk,则焦点fp2,0与点a连线所在直线的斜率kaf=4k4-k2,由题意知afob,所以4k4-k2(-k)=-1,则k2=45,从而可知直线ab的方程为x=52p.方法2:由题意设直线ab的方程为x=a,则a(a,2pa),b(a,-2pa),由afob,得-2paa2paa-p2=-1,解得a=52p,所以直线ab的方程为x=52p.答案:c6.过原点的直线与椭圆x28+y24=1交于a,b两点,f1,f2为椭圆的焦点,则四边形af1bf2的面积的最大值是.解析:如图所示,四边形af1bf2的面积等于saf1f2+sbf1f2,当点a,b分别与短轴的两个端点重合时,所求四边形的面积最大,则四边形af1bf2的面积的最大值为2122cb=2bc=8.答案:87.已知椭圆x24+y22=1的两个焦点是f1,f2,点p在该椭圆上.若|pf1|-|pf2|=2,则pf1f2的面积是.解析:由椭圆的方程可知a=2,c=2,且|pf1|+|pf2|=2a=4,所以|pf1|=3,|pf2|=1,因为|f1f2|=2c=22,所以|pf1|2=|pf2|2+|f1f2|2,即三角形pf2f1为直角三角形,且pf2f1=90,所以pf1f2的面积s=12|f1f2|pf2|=12221=2.答案:28.已知直线y=a交抛物线y=x2于a,b两点.若该抛物线上存在点c,使得acb为直角,则a的取值范围为.解析:根据题意不妨设a(m,m2),b(-m,m2),c(x,x2),则由题意易知acbc,故(x-m,x2-m2)(x+m,x2-m2)=x2-m2+(x2-m2)2=0m4-(2x2+1)m2+(x2+x4)=0,(m2-x2)(m2-x2-1)=0m2=x2+11,+).从而可知a1,+).答案:1,+)9.抛物线y2=2px(p0)上有两个动点a,b及一个定点m(x0,y0),f是抛物线的焦点,且|af|,|mf|,|bf|成等差数列.求证:线段ab的垂直平分线经过定点q(x0+p,0).证明设a(x1,y1),b(x2,y2),由抛物线定义,知|af|=x1+p2,|bf|=x2+p2,|mf|=x0+p2.因为|af|,|mf|,|bf|成等差数列,所以2|mf|=|af|+|bf|,即x0=x1+x22.设线段ab的中点为(x0,t),则t=y1+y22,kab=y1-y2x1-x2=y1-y2y122p-y222p=2py1+y2=pt,所以线段ab的垂直平分线方程为y-t=-tp(x-x0),即tx-(x0+p)+py=0,所以线段ab的垂直平分线经过定点(x0+p,0).10.已知椭圆g:x24+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆g于a,b两点.(1)求椭圆g的焦点坐标和离心率;(2)将|ab|表示为m的函数,并求|ab|的最大值.解(1)由题意得a=2,b=1,c=a2-b2=3.故椭圆g的焦点坐标为(-3,0),(3,0),离心率为e=ca=32.(2)由题意,知|m|1.当m=1时,切线l的方程为x=1,点a,b的坐标分别为1,32,1,-32,此时|ab|=3.当m=-1时,同理可得|ab|=3.当|m|1时,设切线l的方程为y=k(x-m).由y=k(x-m),x24+y2=1,得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设a,b两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=8k2m1+4k2,x1x2=4k2m2-41+4k2.又直线l与圆x2+y2=1相切,得|km|k2+1=1,即m2k2=k2+1,|ab|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)64k4m2(1+4k2)2-4(4k2m2-4)1+4k2=43|m|m2+3.当m=3时,|ab|=3,|ab|=43|m|m2+3,m(-,-11,+).|ab|=43|m|m2+3=43|m|+3|m|2,当且仅当m=3时,|ab|=2,|ab|的最大值为2.11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与x轴、y轴的正半轴分别交于a,b两点,原点o到直线ab的距离为255,该椭圆的离心率为32.(1)求椭圆的方程.(2)是否存在过点p0,53的直线l与椭圆交于m,n两个不同的点,且对l外任意一点q,有qm=4qn-3qp成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解(1)由题意,得直线ab的方程为bx+ay-ab=0(ab0).由|ab|a2+b2=255及a2-b2a=32,得a=2,b=1.所以椭圆的方程为x24+y2=1.(2)因为qm=4qn-3qp,所以pm=4pn.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,则m(0,-1),n(0,1),易知符合条件,此时直线l的方程为x=0.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+53,代入x24+y2=1,得(9+36k2)x2+120kx+64=0.由=14 400k2-256(9+36k2)0,解得k249.设m(x1,y1),n(x2,y