浅谈指数函数中与二次函数相关的问题.doc

浅谈指数函数中与二次函数有关的问题福安三中 刘涛【摘要】函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础，指数函数与二次函数作为基本函数，常以复合的形式出现.本文通过一些例题的讲解，进一步研究指数函数与二次函数的复合型函数的有关的问题，深化对指数函数与二次函数的理解与认识，得到较系统的函数知识和方法.【关键词】指数函数 对数函数 复合函数引言函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中. 指数函数与二次函数作为基本函数，他们的复合型函数常是难点.本文通过一些例题的讲解，对指数函数的性质及二次函数的一些问题进行研究，加深对指数函数的认识. 1.指数型函数中有关值域的问题值域是函数的三要素之一，要求复合函数的值域需注意变量替换后的值域.例1.求的值域. 分析：要求一个比较复杂的函数的值域，首先要看清这个复杂函数是由哪几个简单函数构成的此函数是一个以2为底的指数函数与一个以3为底的指数型函数复合，所以我们先考虑指数部分的范围，令，则，而函数为单调递增函数，由此可得出，所以的值域为.例2.试比较与的大小.分析：对于一般的比较大小问题，我们可以通过函数的增减性来解决这道题目显然也是通过此途径来解决但是其给出的条件不是很明确，那么我们就要对分类讨论解：当，即时；当，即时，；当，即时，当，即时，；综上所述，当时，；当时，；当时，.上面两题主要是让我们在解决指数函数问题的时候，要细致分析问题.对于一般的指数函数中有关定义域、值域以及单调性问题我们能够比较熟练的解决，但是我们在遇到的一些问题中往往指数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数，那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？在这我先强调一点，我们做任何题，不管是简单的还是复杂的，关键的是抓住其基本性质，尽量把问题转化到我们所熟悉的情况下进行解决. 那么要把指数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数.2.指数函数中有关二次函数的问题例 3：函数的单调递增区间是（ ）.A. B. C. D. 分析： 由于以为底的指数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间. 下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题. 对该二次函数进行配方，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在小于时为单调递减，大于时为单调递增.我们来看一个一般问题，对于类似与上面这题的复合函数的单调区间是怎样的二次函数图象为抛物线. 对称轴为，因为是一个单调减函数，所以只要判断函数的单调区间再根据复合函数单调性就可求得的单调区间.例 4：若函数的值域为，求实数 的取值范围.分析：函数的定义域为，要使函数 的值域为, 即要真数取遍零和所有正数, 故二次函数 的图象与 x 轴有交点， 所以 , 得或 .故实数的取值范围为.我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化. 以上这两题中的二次函数是作为指数函数的一部分出现的，有的时候会和、反过来，指数函数作为二次函数的一部分出现，下面我们来看这么几道题. 例 5：若, 且，求的最值. 分析 : 既然是求的最值，那就先对函数进行整理，可得 : =，而 ，所以. 这道题比较简单，但要注意指数的计算，在最后是通过配方求出最值的. 例 6：若有两个大于零的实根， 且，求实数的取值范围.分析 : 既然是指数函数方程，我们先不管后面的条件，该怎么做就怎么做，即先化简函数方程，则有，由于形式有点复杂 , 我们可以作个代换，令，则有.在此要注意 , 由于变量的代换，则其变量的范围也会随之改变，因为, 则，下面利用韦达定理列出一系列的不等式 :在此题中，注意换元后，其变量范围的变化. 例 7：若恰有一个实根，求实数的取值范围.分析 : 原式即：，这个式子中出现的指数函数和前面的有所不同，这时的底数是相同的，于是我们得到了:，下面就是分析方程，只有一个实数根的问题.如果在这里简单就认为把其平方得到一个二次函数，再令即可的话，似乎总有点心有余悸，好象有问题. 下面我介绍一种方法来具体研究. 我们可以把这个方程写成两个函数的形式:与要求方程有一个实根，也就是说，这两个函数的图形有且仅有一个交点.在下图上我们可以看出在三种情况下，两个图只有一个交点. 于是我们可以列出式子：，最后解得 :或，在这里，我们充分利用了图形来解决根的问题. 总结第一部分为复合函数中有关值域的问题. 注意两点：一是复合函数单调性问题；另一个是整个函数的值域的求解. 第二部分