北师大版选修44 1.2.1极坐标系的概念1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化 学案.doc

2极坐标系2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：如图在平面内取一个定点o，叫作极点，从o点引一条射线ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系.(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面内任意一点m，用表示线段om的长，表示以ox为始边、om为终边的角度，叫作点m的极径，叫作点m的极角，有序实数对(，)叫作点m的极坐标，记作m(，).当点m在极点时，它的极径0，极角可以取任意值.2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；两种坐标系取相同的长度单位.(2)互化公式：.【思维导图】【知能要点】1.极坐标系的四要素.2.点的极坐标的写法.3.极坐标和直角坐标的互化.题型一极坐标系的概念与点的极坐标1.极坐标系的概念极坐标系的建立有四个要素：极点；极轴；单位长度；角度单位和它的正方向.四者缺一不可.极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.2.点的极坐标每一个有序实数对(，)确定一个点的位置.其中，是点m的极径，是点m的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的极坐标(，)的定义，对于给定的点(，)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(，2k) (kz)，另一类为(，2k) (kz).在极坐标(，)中，一般限定0.当0时，就与极点重合，此时不确定.给定点的极坐标(，)，就唯一地确定了平面上的一个点.但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系.这是极坐标与直角坐标的不同之处.如果限定0，00，00，02，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.1.写出下列各点的极坐标.解a(4，0)，b，c，d，e，f，g.【例2】 在极坐标系中，作出下列各点：a，b(6，120)，c，d，e(4，0)，f(2.5，180).解各点描点如图所示.【反思感悟】 知道点的极坐标(，)，我们可以先根据极角确定方向(射线)，然后根据来确定距离，进而描出(，)的对应点.2.在极坐标系中，写出点a，b，c的极坐标，并标出点d，e，f所在的位置.解由图可得点a，b，c的极坐标分别为(1，0)，.点d，e，f的位置如上图所示.【例3】 在极坐标中，若等边abc的两个顶点是a，b，那么顶点c的坐标可能是()a. b. c.(2，) d.(3，)解析如图所示，由题设可知a、b两点关于极点o对称，即o是ab的中点.又|ab|4，abc为正三角形，|oc|2，aoc，c对应的极角或，即c点极坐标为或.答案b【反思感悟】 在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合.3.点m的极坐标是，它关于直线的对称点坐标是()a. b.c. d.解析当0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找.描点时，先找到角的终边.又因为20.最小正角.故点n的极坐标是.【反思感悟】 把极坐标化成直角坐标，直接代入公式即可；把直角坐标化为极坐标，通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍)，一般只要取0，2)，0即可.5.若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.(1)已知点a的极坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点b和点c的直角坐标为(2，2)和(0，15)，求它们的极坐标.(0，02)解(1)x4cos2，y4sin2.直角坐标为(2，2).(2)12，sin 1，cos 1，1，(2，2)的极坐标为，215，sin 21，cos 20，2，(0，15)的极坐标为1.在极轴上与点的距离为5的点的坐标是_.解析设所求点的坐标为(，0)，则5. 即2870，解得1或7.所求点的坐标为(1，0)或(7，0).答案(1，0)或(7，0)2.在直角坐标系中，已知点a(3，3)，b(3，3).将a、b两点的直角坐标化为极坐标.解直接根据互化公式，可得a的极坐标为，b的极坐标为.3.某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点o、a、b、c、d、e、f分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定0，00，00，0，2)解析如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的.答案(1)(2)(3)三、解答题10.在极坐标系中，(1)求a，b两点间的距离；(2)已知点p的极坐标为(，)，其中1，r，求满足上述条件的点p的位置.解(1)a，b在过极点且与极轴成的直线上，它们位于极点的两侧，|ab|51217.(2)由于点p的极径恒为1，且r，因此，点p在以1为半径，极点为圆心的圆上.11.设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.解如图所示，建立极坐标系，使极点o位于抛物线的焦点处，极轴ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列两种情形：(1)当30时，30(万千米)；(2)当150时，30(万千米)；(3)当210时，30(万千米)；(4)当330时，30(万千米).彗星此时的极坐标有四种情形：，.12.在极坐标系中，已知三点p，q，r(6，2).(1)将p、q、r三点的极坐标化为直角坐标；(2)求pqr的面积.解(1)p(2，2)，q(4，4)，r(6，0).(2)直线pq的方程为y4