2010高考-圆锥曲线方程及质(教师版).docVIP

科目 高二数学 圆锥曲线方程及性质圆锥曲线方程及性质 一 一 课标要求课标要求 1 了解圆锥曲线的实际背景 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2 经历从具体情境中抽象出椭圆 抛物线模型的过程 掌握它们的定义 标准方程 几何图形及简单性质 3 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道双曲线的有关性质 二 二 命题走向命题走向 本讲内容是圆锥曲线的基础内容 也是高考重点考查的内容 在每年的高考试卷中一般有 2 3 道客观题 难 度上易 中 难三档题都有 主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质 从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线 的概念和性质 圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例 且选择题 填空题和解答题都涉及到 客观题主 要考察圆锥曲线的基本概念 标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能 基本方法 对于本讲内容来讲 预测 2011 年 1 1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题 主要是求值问题 2 可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用 结合三种形式的圆锥曲线的定义 三 三 要点精讲要点精讲 1 椭圆 1 椭圆概念 平面内与两个定点 1 F 2 F的距离的和等于常数 大于 21 FF 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫椭圆的焦距 若M为椭圆上任意一点 则有 21 2MFMFa 椭圆的标准方程为 22 22 1 xy ab 0ab 焦点在 x 轴上 或1 2 2 2 2 b x a y 0ab 焦点在 y 轴 上 注 以上方程中 a b的大小0ab 其中 222 cab 在 22 22 1 xy ab 和 22 22 1 yx ab 两个方程中都有0ab 的条件 要分清焦点的位置 只要看 2 x和 2 y的分 母的大小 例如椭圆 22 1 xy mn 0m 0n mn 当mn 时表示焦点在x轴上的椭圆 当mn 时表 示焦点在y轴上的椭圆 2 椭圆的性质 范围 由标准方程 22 22 1 xy ab 知 xa yb 说明椭圆位于直线xa yb 所围成的矩形里 对称性 在曲线方程里 若以y 代替y方程不变 所以若点 x y在曲线上时 点 xy 也在曲线上 所以曲线关于x轴对称 同理 以x 代替x方程不变 则曲线关于y轴对称 若同时以x 代替x y 代替 y方程也不变 则曲线关于原点对称 所以 椭圆关于x轴 y轴和原点对称 这时 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是对称中心 椭圆的对称中心 叫椭圆的中心 顶点 确定曲线在坐标系中的位置 常需要求出曲线与x轴 y轴的交点坐标 在椭圆的标准方程中 令 0 x 得yb 则 1 0 Bb 2 0 Bb是椭圆与y轴的两个交点 同理令0y 得xa 即 1 0 Aa 2 0 A a是椭圆与x轴的两个交点 所以 椭圆与坐标轴的交点有四个 这四个交点叫做椭圆的顶点 同时 线段 21 A A 21 B B分别叫做椭圆的长轴和短轴 它们的长分别为2a和2b a和b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长 由椭圆的对称性知 椭圆的短轴端点到焦点的距离为a 在 22 Rt OB F 中 2 OBb 2 OFc 22 B Fa 且 222 2222 OFB FOB 即 222 cac 离心率 椭圆的焦距与长轴的比 c e a 叫椭圆的离心率 0ac 01e 且e越接近1 c就越 接近a 从而b就越小 对应的椭圆越扁 反之 e越接近于0 c就越接近于0 从而b越接近于a 这时椭圆 科目 高二数学 越接近于圆 当且仅当ab 时 0c 两焦点重合 图形变为圆 方程为 222 xya 2 双曲线 1 双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 12 2PFPFa 注意 式中是差的绝对值 在 12 02 aFF 条件下 12 2PFPFa 时为双曲线的一支 含 2 F的一支 21 2PFPFa 时为双曲线的另一支 含 1 F的一支 当 12 2 aFF 时 12 2PFPFa 表示两条射线 当 12 2 aFF 时 12 2PFPFa 不表示任何图形 两定点 12 F F叫做双曲线的焦点 12 FF叫做焦距 椭圆和双曲线比较 椭 圆双 曲 线 定义 1212 2 2 PFPFaaFF 1212 2 2 PFPFaaFF 方程 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ba 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 焦点 0 Fc 0 Fc 0 Fc 0 Fc 注意 如何有方程确定焦点的位置 2 双曲线的性质 范围 从标准方程1 2 2 2 2 b y a x 看出曲线在坐标系中的范围 双曲线在两条直线ax 的外侧 即 22 ax ax 即双曲线在两条直线ax 的外侧 对称性 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的 这时 坐标轴是双曲线的对称轴 原点是 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的对称中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心 顶点 双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点 在双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的方程里 对称轴是 x y轴 所以 令0 y得ax 因此双曲线和x轴有两个交点 0 0 2 aAaA 他们是双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的顶点 令0 x 没有实根 因此双曲线和 y 轴没有交点 1 注意 双曲线的顶点只有两个 这是与椭圆不同的 椭圆有四个顶点 双曲线的顶点分别是实轴的两个 端点 2 实轴 线段 2 AA叫做双曲线的实轴 它的长等于2 a a叫做双曲线的实半轴长 虚轴 线段 2 BB叫做双 曲线的虚轴 它的长等于2 b b叫做双曲线的虚半轴长 渐近线 注意到开课之初所画的矩形 矩形确定了两条对角线 这两条直线即称为双曲线的渐近线 从图 上看 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的各支向外延伸时 与这两条直线逐渐接近 等轴双曲线 1 定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 定义式 ab 2 等轴双曲线的性质 1 渐近线方程为 xy 2 渐近线互相垂直 注意以上几个性质与定义式彼此等价 亦即若题目中出现上述其一 即可推知双曲线为等轴双曲线 同时其 他几个亦成立 3 注意到等轴双曲线的特征ab 则等轴双曲线可以设为 0 22 yx 当0 时交点在x轴 当0 时焦点在y轴上 注意1 916 22 yx 与 22 1 916 yx 的区别 三个量 a b c中 a b不同 互换 c相同 还有焦点所在的坐标 科目 高二数学 轴也变了 3 抛物线 1 抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 不在定直线 l 上 定点 F 叫做抛 物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 方程 02 2 ppxy叫做抛物线的标准方程 注意 它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上 焦点坐标是 F 2 p 0 它的准线方程是 2 p x 2 抛物线的性质 一条抛物线 由于它在坐标系的位置不同 方程也不同 有四种不同的情况 所以抛物线的标准方程还有其 他几种形式 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 这四种抛物线的图形 标准方程 焦点坐标以及准线方程如 下表 标准方程 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 图形 焦点坐标 0 2 p 0 2 p 0 2 p 0 2 p 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围0 x 0 x 0y 0y 对称性x轴x轴y轴y轴 顶点 0 0 0 0 0 0 0 0 离心率1e 1e 1e 1e 说明 1 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径 2 抛物线的几何性质的特点 有一个 顶点 一个焦点 一条准线 一条对称轴 无对称中心 没有渐近线 3 注意强调p的几何意义 是焦点到准 线的距离 四 四 典例解析典例解析 题型 1 椭圆的概念及标准方程 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10 2 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 3 5 2 2 3 焦点在x轴上 2 1a b cb 4 焦点在y轴上 22 5ab 且过点 2 0 5 焦距为b 1ab 6 椭圆经过两点 3 5 2 2 3 5 解析 1 椭圆的焦点在x轴上 故设椭圆的标准方程为 22 22 1 xy ab 0ab 210a 4c 222 9bac 所以 椭圆的标准方程为 22 1 259 xy o Fx y l ox y F l x y o F l 科目 高二数学 2 椭圆焦点在y轴上 故设椭圆的标准方程为 22 22 1 yx ab 0ab 由椭圆的定义知 2222 353531 2 2 2 10102 10 222222 a 10a 又 2c 222 1046bac 所以 椭圆的标准方程为 22 1 106 yx 3 6c 222 6abc 又由 2 1a b 代入 得 22 46bb 2 2b 2 8a 又 焦点在x轴上 所以 椭圆的标准方程为 22 1 82 xy 4 设椭圆方程为 22 22 1 yx ab 2 2 1 b 2 2b 又 22 5ab 2 3a 所以 椭圆的标准 方程为 22 1 32 yx 5 焦距为6 3c 222 9abc 又 1ab 5a 4b 所以 椭圆的标准方 程为 22 1 2516 xy 或 22 1 2516 yx 6 设椭圆方程为 22 1 xy mn 0m n 由 22 35 22 1 35 1 mn mn 得6 10mn 所以 椭圆方程为 22 1 106 yx 点评 求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义 还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系 例 2 1 已知椭圆中心在原点 一个焦点为 F 23 0 且长轴长是短轴长的 2 倍 则该椭圆的标准方 程是 2 椭圆的中心为点 10 E 它的一个焦点为 3 0 F 相应于焦点F的准线方程为 7 2 x 则这个椭 圆的方程是 22 2 1 2 1 213 xy 22 2 1 2 1 213 xy 2 2 1 1 5 x y 2 2 1 1 5 x y 解析 1 已知 2 2 2 2 222 4 2 2 3 161 164 2 3 0 b ab c y x a abc F 为所求 2 椭圆的中心为点 1 0 E 它的一个焦点为 3 0 F 半焦距2c 相应于焦点 F 的准线方程为 7 2 x 2 5 2 a c 22 5 1ab 则这个椭圆的方程是 2 2 1 1 5 x y 选 D 点评 求椭圆方程的题目属于中低档题目 掌握好基础知识就可以 题型 2 椭圆的性质 例 3 1 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为2 焦点到相应准线的距离为 1 则该椭圆的离心 率为 科目 高二数学 A 2 B 2 2 C 2 1 D 4 2 2 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 A 3 B 2 C 5 D 6 解析 设切点 00 P xy 则切线的斜率为 0 0 2 x x yx 由题意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 答案 C 点评 本题重点考查了椭圆和双曲线的基本性质 例 4 1 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线段AF交C于点B 若3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3 解析 过点 B 作BMl 于 M 并设右准线l与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意3FAFB 故 2 3 BM 又由 椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 2 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分 别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 A 2 B 3 C 5 D 10 解析 对于 0A a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为 B C 22 aabaab BC ab ababab 则有 22 2222 22 a ba babab BCAB ababab ab 因 22 2 4 5ABBCabe 答案 C 题型 3 双曲线的方程 例 5 1 已知焦点 12 5 0 5 0 FF 双曲线上的一点P到 12 F F的距离差的绝对值等于6 求双曲线的标 准方程 2 求与椭圆 22 1 255 xy 共焦点且过点 3 2 2 的双曲线的方程 3 已知双曲线的焦点在y轴上 并且双曲线上两点 12 P P坐标分别为 9 3 4 2 5 4 求双曲线的标准方 程 解析 1 因为双曲线的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 22 22 1 xy ab 0 0 ab 26 210ac 3 5ac 222 5316b 所以所求双曲线的方程为 22 1 916 xy 2 椭圆 22 1 255 xy 的焦点为 2 5 0 2 5 0 可以设双曲线的方程为 22 22 1 xy ab 则 22 20ab 科目 高二数学 又 过点 3 2 2 22 182 1 ab 综上得 22 202 10 2 10ab 所以 22 1 202 102 10 xy 点评 双曲线的定义 方程确定焦点的方法 基本量 a b c之间的关系 3 因为双曲线的焦点在y轴上 所以设所求双曲线的标准方程为 22 22 1 0 0 yx ab ab 点 12 P P在双曲线上 点 12 P P的坐标适合方程 将 9 3 4 2 5 4 分别代入方程 中 得方程组 22 22 2 22 4 2 3 1 9 25 4 1 ab ab 将 2 1 a 和 2 1 b 看着整体 解得 2 2 11 16 11 9 a b 2 2 16 9 a b 即双曲线的标准方程为 22 1 169 yx 点评 本题只要解得 22 a b即可得到双曲线的方程 没有必要求出 a b的值 在求解的过程中也可以用换元思 想 可能会看的更清楚 例 6 已知双曲线中心在原点 一个顶点的坐标为 3 0 且焦距与虚轴长之比为5 4 则双曲线的标准方程是 解析 双曲线中心在原点 一个顶点的坐标为 3 0 则焦点在 x 轴上 且 a 3 焦距与虚轴长之比为5 4 即 5 4c b 解得5 4cb 则双曲线的标准方程是 22 1 916 xy 点评 本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力 充分挖掘双曲线几何性质 数形 结合 更为直观简捷 题型 4 双曲线的性质 例 7 1 下列曲线中离心率为 6 2 的是 22 1 24 xy 22 1 42 xy 22 1 46 xy 22 1 410 xy 解析 由 6 2 e 得 222 222 331 1 222 cbb aaa 选 B 2 设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 12 FF 0 2 Pb是正三角形的三个顶点 则双 曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 解析 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 则2 c e a 故选 B 科目 高二数学 3 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双曲线的渐近线方程为 A xy2 B xy2 C xy 2 2 D xy 2 1 解析 由已知得到2 3 1 22 bcacb 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故渐近线方程为 xx a b y 2 2 答案 C 考点定位 本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用 考察了同学们的运算能力和推理能力 例 8 1 已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点 则直线2ykx 与椭圆至多有一个交点的 充要条件是 A 1 1 2 2 K B 11 22 K C 22 22 K D 22 22 K 解析 易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 联立2 ykx 可得 22 3 4k 16k 40 xx 由0 可解得 A 2 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一条渐近线方程为xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 1 PF 2 PF A 12 B 2 C 0 D 4 解析 由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线 双曲线方程是2 22 yx 于是两焦点坐标分别是 2 0 和 2 0 且 1 3 P或 1 3 P 不妨去 1 3 P 则 1 32 1 PF 1 32 2 PF 1 PF 2 PF 01 32 32 1 32 1 32 答案 C 3 已知双曲线 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过F且斜率为3的直线交C于AB 两点 若 4AFFB 则C的离心率为 A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 解析 设双曲线 22 22 1 xy C ab 的右准线为l 过AB 分 别作AMl 于M BNl 于N BDAMD 于 由 直线 AB 的斜率为3 知直线 AB 的倾斜角 1 6060 2 BADADAB 由双曲线的第二定义有 1 AMBNADAFFB e 11 22 ABAFFB 又 156 43 25 AFFBFBFBe e 答案 A 题型 5 抛物线方程 例 9 1 焦点到准线的距离是 2 2 已知抛物线的焦点坐标是 F 0 2 求它的标准方程 解析 1 y 2 4x y 2 4x x 2 4y x 2 4y 方程是 x 2 8y 点评 由于抛物线的标准方程有四种形式 且每一种形式中都只含一个系数 p 因此只要给出确定 p 的一个条 科目 高二数学 件 就可以求出抛物线的标准方程 当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后 它的标准方程就唯一确定了 若 抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定 则所求的标准方程就会有多解 题型 6 抛物线的性质 例 10 1 若抛物线 2 2ypx 的焦点与椭圆 22 1 62 xy 的右焦点重合 则p的值为 A 2 B 2 C 4 D 4 2 抛物线 2 8yx 的准线方程是 A 2x B 4x C 2y D 4y 3 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 A 2 0 B 2 0 C 4 0 D 4 0 解析 1 椭圆 22 1 62 xy 的右焦点为 2 0 所以抛物线 2 2ypx 的焦点为 2 0 则4p 故选 D 2 2p 8 p 4 故准线方程为 x 2 选 A 3 由 2 8yx 易知焦点坐标是 0 2 0 2 p 故选 B 点评 考察抛物线几何要素如焦点坐标 准线方程的题目根据定义直接计算机即可 例 11 1 抛物线 2 yx 上的点到直线4380 xy 距离的最小值是 A 4