北师大版选修44 1.2.3直线和圆的极坐标方程1.2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化1.2.5圆锥曲线统一的极坐标方程 学案.doc

2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程1.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线c上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(，)0，并且坐标适合方程(，)0的点都在曲线c上，那么方程(，)0叫做曲线c的极坐标方程.2.圆心在极轴上且经过极点的圆的方程(1)圆经过极点o，圆与极轴的另一个交点是a(2a，0)，圆的半径是a，圆心坐标是c(a，0) (a0)，则圆的极坐标方程是2acos_.(2)圆心在a(a，0)，半径为r的圆的极坐标方程为22acos_a2r20.3.直线的极坐标方程(1)直线l经过极点，极轴与直线l的夹角是，则直线l的极坐标方程为或 (r).(2)经过点a(a，0)垂直于极轴的直线的极坐标方程为cos_a.(3)经过点a(a，0)倾斜角为的直线的极坐标方程为sin()asin_.*4.设定点为f，定直线为l，到定点f的距离和到一条定直线l的距离的比等于常数e的点的轨迹在如图所示的极坐标下的极坐标下的方程为(其中|kf|p.|mf|，bfm，p为定值，为变量)ecos_ep此为圆锥曲线统一的极坐标方程.【思维导图】【知能要点】1.曲线的极坐标方程.2.圆的极坐标方程.3.直线的极坐标方程.4.两种方程的互化.题型一曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程(，)0.如果曲线c是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程(，)0为曲线c的极坐标方程.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多种表示形式，这里要求至少有一种能满足极坐标方程.有些表示形式可能不满足方程.例如，对极坐标方程点m可以表示为或等多种形式，其中只有的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程.求曲线的极坐标方程就是找出曲线上的动点p(，)的极径和极角的相互关系.【例1】 判断点是否在曲线cos 上？分析在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的.不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程，我们还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解点和点是同一点，cos cos ，点在曲线cos 上，即点在曲线cos 上.【反思感悟】 我们容易根据直角坐标系的习惯，当把点的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不同的.尽管并不满足cos ，但该点依然在曲线上.1.a、b两点相距12，动点m满足|36，求点m的轨迹的极坐标方程.解以ab所在直线为极轴，ab中点为极点建立极坐标系(如图所示)，设m(，)，由|.|.由|36，得(236)21442cos2 362，即47221442cos2 0，即272(2cos2 1)72cos 2.题型二直线和圆的极坐标方程求直线和圆的极坐标方程，可以结合图形，找出直线和圆上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.【例2】 求过a平行于极轴的直线方程.解如图所示，在直线l上任意取点m(，).a，|mh|2sin ，在rtomh中，|mh|om|sin ，即sin ，所以，过a平行于极轴的直线方程为sin .【反思感悟】 (1)在直线上任意取一点m，根据已知条件想办法找到变量、之间的关系.我们可以通过图中的直角三角形来解决.(2)在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.2.求出下列直线的极坐标方程.(1)过定点m(0，0)，关于极轴的倾角为；(2)过定点m(0，0)，且与直线0垂直.解(1)设p(，)为直线上任意一点(如图)，且记opm1，omp2，则1，2(0).在omp中应用正弦定理：，即00.即直线方程为sin()0sin(0).(2)设p(，)为直线上任意一点(如图)，由omp为直角三角形，显然有cos(0)0.这就是所求直线方程.【例3】 在圆心的极坐标为a(4，0)，半径为4的圆中，求过极点o的弦的中点的轨迹.解设m(，)是轨迹上任意一点.连接om并延长交圆a于点p(0，0)，则有0，02.由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos ，得08cos 0.所以28cos ，即4cos .故所求轨迹方程是4cos .它表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆.【反思感悟】 求轨迹方程时，我们常在三角形中利用正弦定理找到变量，的关系.在圆的问题中，经常用到直角三角形中的边角关系.3.写出圆心在点(1，1)处，且过原点的圆的极坐标方程.解因为圆的半径为r，所以圆的直角坐标方程为(x1)2(y1)22，变形为x2y22(xy)，用坐标变换公式得22(cos sin )，故所求圆的极坐标方程为2(sin cos ).题型三直角坐标方程与极坐标方程的互化在进行两种坐标间的互化时，我们要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定在00范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.【例4】 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)；(4)cos2 1；(5)2cos24；(6).解(1)将xcos ，ysin 代入y24x，得(sin )24cos ，化简得sin2 4cos .(2)将xcos ，y sin 代入y2x22x10，得(sin )2(cos )22cos 10，化简得22cos 10.(3)tan ，tan ，化简得yx (x0).(4)cos2 1，1，即cos 2，x2，整理有y244x.(5)2cos 24，2(cos2sin2)4.化简得x2y24.(6)，12cos ，12x，整理得3x24y22x10.【反思感悟】 极坐标系和直角坐标系都是一对有序实数来确定平面上一点的位置方法，都是研究平面图形的重要工具.在实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标系进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互化.在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.4.(1)将x2y2a2化为极坐标方程；(2)将2asin 化为直角坐标方程.解(1)直接代入互化公式，2cos22sin2a2，2cos 2a2，这就是所求的极坐标方程.(2)两边同乘以得22asin .x2y22ay，这就是要求的直角坐标方程.1.经过极点o(0，0)，a，b三点的圆的极坐标方程为_.解析将点的极坐标化为直角坐标，点o，a，b的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故oab是以ob为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为3，圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即x2y26x6y0，将xcos ，ysin 代入上述方程，得26(cos sin )0，即6cos.答案6cos2.求过点a，并且与极轴垂直的直线.解在直线l上任取一点m，如图：因为a，所以|oh|2cos .在rtomh中，|oh|cos ，所以所求直线的方程为cos .3.求两个圆4cos ，4sin 的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系.解将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x2)2y24，x2(y2)24，两圆的圆心坐标为(2，0)，(0，2)，半径都为2，圆心距d24，两圆相交.p18思考交流当0e1时，方程表示了什么曲线？角在什么范围内变化即可得曲线上所有的点？当e1时，方程表示了什么曲线？角在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？答由变形为ecos ep转化为直角坐标方程为(1e2)x2y22e2 pxe2p2当e1时，方程为y22p可表示抛物线，当从0(0)变化到2，就得到抛物线上所有的点.当0e1时，1e20，方程(1e2)x2y22e2pxe2p2可化为1表示椭圆.当从0变化到2就得到椭圆上所有的点.当e1时，1e20，0.所以1表示双曲线当从0变化到2就得到双曲线上所有的点.【规律方法总结】1.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点m(，)，探求，的关系，经常利用三角形和正弦定理.2.曲线的极坐标方程和直角坐标方程进行化简，直接代入互化公式即可.3.圆的极坐标方程比较简便，而直线的极坐标方程形式复杂.一、选择题1.在极坐标系中，方程6cos 表示的曲线是()a.以点(3，0)为圆心，3为半径的圆b.以点(3，)为圆心，3为半径的圆c.以点(3，0)为圆心，3为半径的圆d.以点为圆心，3为半径的圆解析由6cos ，化为直角坐标方程为，x2y26x，即(x3)2y29，故选c.答案c2.在极坐标系中，圆心在(，)且过极点的圆的方程为()a.2cos b.2cos c.2sin d.2sin 解析如图所示，p(，)，在圆上任找一点m(，)，延长op与圆交于点q，则omq90，在rtomq中，omoqcosqom2cos()，即2cos .答案b3.极坐标方程2sin的图形是()解析2sin2sin cos 2cos sin (sin cos )，2sin cos ，x2y2xy，1，圆心的坐标为.结合四个图形，可知选c.答案c4.在极坐标系中，已知一个曲线的方程为12sin，则过曲线中心与极轴垂直的直线的极坐标方程是()a.sin 3 b.sin 3c.cos 3 d.cos 3解析将曲线的方程化为直角坐标方程为x2y26x6y0，这是一个圆，圆心坐标(3，3)，所求直线方程为x3，化为极坐标方程为cos 3.答案c5.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()a.，0b.，0c.cos sin ，0d.cos sin ，0解析将极坐标方程转化为直角坐标方程即可.a中，由，得cos sin 1，xy1，y1x(0x1).b中，由，得y1x.c中，由cos sin ，得2cos sin ，即x2y2xy(0x1).d中，由cos sin ，得x2y2xy.答案a二、填空题6.在极坐标系中，点到直线(cos sin )6的距离为_.解析借助极坐标与直角坐标互化求解.由知极坐标可化为(1，)，直线(cos sin )6可化为xy60.故所求距离为d1.答案17.已知曲线c1，c2的极坐标方程分别为cos 3，4cos (0，0)，则曲线c1与c2的交点的极坐标为_.解析4cos23，2(1cos 2)3，cos 2.02，代入4cos 得：2.c1与c2交点的极坐标为.答案8.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线c的极坐标方程为2sin ，则曲线c的直角坐标方程为_.解析2sin ，22sin ，x2y22y，即x2y22y0.答案x2y22y09.在极坐标系中，点到直线sin1的距离是_.解析点化为直角坐标为(，1)，直线sin1化为1，yx1，xy10，点(，1)到直线xy10的距离为1.答案1三、解答题10.画出极坐标方程sin 0表示的曲线.解将方程分解因式得(sin )0，即为一直线，sin 为一个圆(如图所示).11.已知圆c的极坐标方程为22sin40，求圆c的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点o，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xoy.圆c的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆c的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆c的半径为.12.设m是定圆o内一定点，任作半径oa，连接ma，自m作mpma交oa于p，求p点的轨迹方程.解以o为极点，射线om为极轴，建立极坐标系，如图.设定圆o的半径为r，oma，p(，)是轨迹上任意一点.mpma，|ma|2|mp|2|pa|2.由余弦定理，可知|ma|2a2r22arcos ，|mp|2a222acos .而|pa|r，由此可得a2r22arcos a222acos (r)2.整理化简，得.习题12(第18页)a组1.2.a与b关于极轴对称.a与c关于对称.a与d关于极点对称.3.解(1)表示过极点，倾斜角为的直线.(2)垂直于极轴与极点距离为2的直线.(3)以极点为圆心，3为半径的圆.(4)以(3，0)为圆心，3为半径的圆.(5)以为圆心，5为半径的圆.4.解(1)设直线上任一点为(，)则3sinsin sin .(2)设直线上任一点为(，)则2coscos()cos .(3)设圆上任一点为(，)则10cos()10cos .(4)设直线上任一点(，)则sin()asin 0.5.(1)4(2)2sin22a(3)2sin 0(4)2cos 2a26.(1)x5(2)2x5y30(3)y26x(y0)(4)3x2y224x360.7.d8.解sin 与cos 直角坐标方程为x2，y2；圆心坐标为，则圆心距为d ，9.解点p的直角坐标为(，1)，直线sin1的直角坐标方程为yx20，d1.10.解cos 10直角坐标方程x10，直线直角坐标方程yx，则x10关于yx对称的直线方程为y10.化为极坐标方程为sin 10.11.解(1)设圆c上任一点为(，)，则1296cos.23cos 3sin 80.(2)设动点p(，)，q(1，1)，oq1，qpopoq1