人教A版必修一 1.3.1 第1课时　函数的单调性 学案.doc

13.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是增函数；当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是减函数来 源: step .com思考任何函数在定义域上都具有单调性吗？知识点二函数的单调区间如果函数yf(x)在区间d上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间d叫做yf(x)的单调区间思考若函数f(x)在定义域内的两个区间d1，d2上都是减函数，那么f(x)的减区间能写成d1d2吗？ :中教 题型一求函数的单调区间例1如图所示的是定义在区间5,5上的函数yf(x)的图象，则函数的单调递减区间是_、_，在区间_、_上是增函数(2)函数y的单调递减区间是_例2画出函数yx22|x|1的图象并写出函数的单调区间来 源:中 教 反思与感悟1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确2函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域3一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接跟踪训练1作出函数f(x)的图象，并指出函数的单调区间题型二函数单调性的判定与证明例3求证：函数f(x)x在(0,1)上是减函数www. s tep.co m 中国教 育 出版 中 教 ww w. s t 反思与感悟利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断单调性w ww. s tep .co m跟踪训练2已知函数f(x)，证明：函数f(x)在(1，)上为减函数题型三函数单调性的简单应用例4已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围 :中 教 中 国教 育出版 反思与感悟1.二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便2已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法跟踪训练3函数f(x)x22ax1在(，2)上是增函数，则实数a的取值范围是_例5已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则实数a的取值范围为_ 中国教育出 版 错解f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1，即a.a的取值范围为(，)中国 教育 出版 正解由题意可知解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1，即a.由可知，0a，即所求a的取值范围是0a.答案(0，)易错警示错误原因纠错心得忽视函数定义域.解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题，关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式具体做法是：(1)若函数yf(x)在区间d上是增函数，对任意x1，x2d，且f(x1)f(x2)，则有x1x2；(2)若函数yf(x)在区间d上是减函数，对任意x1，x2d，且f(x1)x2，但需要注意的是，不要忘记函数的定义域.跟踪训练4已知f(x)是定义在1,1上的单调递增函数，若f(a)0，则必有()a函数f(x)先增后减bf(x)是r上的增函数来 源:中教 c函数f(x)先减后增d函数f(x)是r上的减函数2函数yx26x的减区间是()a(，2 b2，)c3，) d(，33下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()ay|x| by3xcy dyx244已知函数f(x)是(，)上的增函数，若ar，则()来 源:中 国 教育 出版 af(a)f(2a) bf(a2)f(a2) df(6)f(a)5函数yx|x1|的单调递增区间是_1.对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1.x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)x1x2)(4)并不是所有函数都具有单调性若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性 :中 教 2单调性的证明方法来 源 :中教 证明f(x)在区间d上的单调性应按以下步骤：来 源 :中 教 (1)设元：设x1.x2d且x1x2；w w w. st ep (2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号3单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断中国教 育 出版 (2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增增增”，“减减减”，“增减增”，“减增减”答案精析知识梳理知识点一思考函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质有的函数不具有单调性，例如：函数y再如：函数yx1(x )，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性知识点二思考单调区间不能取并集，如y在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说y在(，0)(0，)上递减 : s tep 题型探究例1(1)2,13,55，21,3(2)(，1)，(1，)解析(1)观察图象可知，yf(x)的单调区间有5，2，2,1，1,3，3,5其中yf(x)在区间5，2，1,3上是增函数，在区间2,1，3,5上是减函数 :中 教 (2)y的图象可由函数y的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(，1)和(1，) 中国 教 育 出版 例2解y即y函数的大致图象如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为1,0，1，)跟踪训练1解f(x)的图象如图所示来 源: 中 教 s tep. com 由图象可知：函数的单调递减区间为(，1和(1,2；单调递增区间为2，)例3证明设任意的x1，x2(0,1)，且x1x2，所以f(x2)f(x1)(x2)(x1)(x2x1)(x2x1)(1).来 源:中教 因为0x1x21，所以x1x210，x2x10，所以0，所以f(x2)f(x1) step.co m 所以函数f(x)x在(0,1)上是减函数跟踪训练2证明任取x1，x2(1，)，且x1x2.则f(x1)f(x2).x2x11，x2x10，(x11)(x21)0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，