量子散射中的分波发和玻恩近似方探讨.doc

上饶师范学院物理与电子信息学院2012届本科毕业论文论 文 题 目：量子散射中的分波法和玻恩近似方法探讨专 业：物 理 学班 级：08 物 (1)学 号：08020120学 生 姓 名：李 炜 强指导教师姓名：吴 波 老 师2012年4月量子散射中的分波法和玻恩近似方法探讨摘要本文主要论述了分波法和玻恩近似法以及他们的应用。散射理论是量子力学的一项重要内容，如果能求出散射截面，对于实验研究，如粒子散射实验有重要意义。本文用两种方法来求散射截面，其中分波法适用于低能散射，玻恩近似适用于高能散射。 关键词 量子散射；分波法；散射截面；玻恩近似 目录绪论（1）1 分波法（3）2 玻恩近似（8）3 例题分析（11）4 附录（17）5 结束语 （20）6 致谢 （20） 参考文献 （20） 绪论（散射截面）在量子力学，散射现象也称为碰撞现象。研究粒子与力场（或粒子与粒子）碰撞过程有很重要的意义。我们对原子内部结构的了解就是通过粒子与原子碰撞而取得的。例如卢瑟福由粒子散射的研究，发现原子中心有一重核。富兰克、赫兹等人所进行的电子与原子碰撞的实验，证明了玻尔关于原子有定态的假设。此外，对原子核、基本粒子的研究也主要是通过碰撞过程；在宇宙射线、气体放电、气体分子碰撞等现象中，碰撞过程也占有重要地位。如果一粒子与另一粒子碰撞过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变，则称这种碰撞为弹性碰撞（或弹性散射）；若碰撞中粒子内部状态有所改变（例如粒子被激发或电离），则称为非弹性碰撞（或非弹性散射）。这里只讨论弹性碰撞问题。为了描述粒子被另一粒子或力场散射的情况，考虑一束粒子流（例如电子流）沿着z轴向粒子A（例如原子）射来（图1.1），A称为散射中心，；设A的质量比入射粒子的质量大得多，由碰撞而引起的A的运动可以略去。入射粒子受A的作用而偏离原来的运动方向，发生散射，粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角，称为散射角。单位时间内散射到面积元ds上的粒子数dn应与ds成正比，而与ds到A点距离r的平方成反比，即与ds对A所张的立体角成比例： dn=dqAdSdS 图1.1同时，dn还应与入射粒子N成正比。这个强度的定义是：垂直于入射粒子流前进的方向取一单位面积S。单位时间内穿过的粒子数就是粒子流强度N。这样就有 以表示这个比例关系中的比例系数，在一般情况下，它与观察的方向有关，因而上式可写为 （1.1.1） 当强度N固定时，单位时间内散射到 方向的粒子数dn由决定。与入射粒子、散射中心的性质以及它们的相互作用和相对动能有关。它的量纲可由（1.1.1）式中其余各项的量纲得出，因为 【dn】=， 【N】=所以有 【q】=即具有面积的量纲。我们称为微分散射截面，如果在垂直于入射粒子流的前进方向取面积d，则单位面积内穿过这个面积的粒子数等于dn。将d对所有的方向积分，得 （1.1.2） Q称为总散射截面。上面关于微分散射截面和总散射截面的定义，在量子力学和经典力学中同样适用。下面我们讨论量子力学中如何有解薛定谔方程来定散射截面。取散射中心为坐标原点，用u（）表示入射粒子与散射中心粒子之间的相互作用势能，则体系的薛定谔方程写为： （1.1.3） 试中m是入射粒子质量，E是它的能量。为方便起见，令 （1.1.4） （1.1.5） （1.1.6） 则（1.1.3）式可以改写为 （1.1.7）我们观察被散射粒子都是在离开散射中心很远的地方，所以只需讨论r时，u（）即在粒子远离散射中心时，两者之间的相互作用趋于零。这样，在无限远的地方，波函数应由两部分组成：一部分是描写入射粒子的平面波，另一部分是描写散射粒子的球面散射波(远离散射中心处，散射波应取外向球面波的形式)： 这个波是由散射中心向外传播的。 （1.1.8） 这里考虑的是弹性散射，所以散射波的能量没有改变，即波矢k的数值不变。上式中的仅是和的函数，而与r无关。容易证明，（1.1.8）式在r时满足方程（1.1.7）在（1.1.8）式中，取A=1，则，这表明每单位体积内只有一个入射粒子，入射波的概率流密度是 =v （1.1.9） 这也就是入射粒子流强度，即（1.1.1）式中的N。散射波的概率流密度是 （1.1.10） 它表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数，故单位时间穿过面积ds的粒子数是 （1.1.11）因为v=N，比较（1.1.11）和（1.1.1）两式，可知微分散射截面是 q（）= （1.1.12） 所以知道了f(),就可以求得q()，f()称为散射振幅。f()的具体形式通过求薛定谔方程（1.1.7）的解并要求在r时解具有（1.1.8）的形式而得出，下面几章将具体讨论如何求解方程（1.1.7）的解。1 分波法考虑势函数为中心力场v（r）的情况。在中心力场中，和守恒，而且散射波对z轴（散射轴）的旋转是对称的，也就是说散射粒子的角分布与角无关。对于弹性散射，我们需要求解满足渐进条件 （1.2.1） 的定态薛定谔方程对于弹性散射，薛定谔方程的解可以用的共同本征函数展开： 其中，的展开式中的每一项代表具有确定l值的分波。方程（1.2.3）中的满足方程（径向方程） （1.2.4） 其中， （1.2.5）渐进条件式（1.2.1）要求，在时 （1.2.6） 因此，时方程（1.2.4）化为渐进方程 （1.2.7） 设 （1.2.8） 则方程（1.2.7）变为 （1.2.9） 此方程的解为从而 （1.2.10） 其中 ， （1.2.11）因此，我们得到散射波的渐进解 （1.2.12） 为了把（1.2.12）和式（1.2.1）比较确定，把式（1.2.1）中的入射波作如下展开（参见附录）： （1.2.13） 其中，l阶球贝塞尔函数在时的渐近行为为 （1.2.14） 因此，在时，式（1.2.1）变为 （1.2.15） 式（1.2.12）和式（1.2.15）同样是散射波在时的渐进解应相等。即 （1.2.16）利用 式（1.2.16）可改写为+由此得到 （1.2.17） （1.2.18）由式（1.2.18）得代入到式（1.2.17）得 （1.2.19）式（1.2.19）中的代表散射波的相位（见式（1.2.17）和入射波的相位（见式（1.2.15）之差，也就是说l分波的相位改变了，散射振幅f取决于这个相移。由散射振幅，我们可以得到散射截面 （1.2.20）总散射截面 最后得到 （1.2.21） 其中， （1.2.22）由此可见，当相移时，将达到最大值，其值 (1.2.23)叫做幺正上限讨论（1） 对低能散射（入射粒子的动量p较小），一般只取几个分波(l0,1）就可以了。因为入射波的动量为p，则粒子的角动量大小为 pb(b为瞄准距离)但由于瞄准距离b必须在力程a之内，因此，从而（如对原子核内np散射，动量p0）。可见，对低能（p小）散射，l只考虑前几个， 如l0,1就可以了，因此，分波法适用于低能散射 （2）势v（r）与相移的关系散射波的相位。对确定的，当v（r）为引力势（-）时， v（r）阻碍r的增加，因此0，当v（r）为排斥势（+）时，粒子的r迅速增大，0（3） 光学定理：由散射截面 可知其虚部为 当散射角时，由于 或 这一关系叫做光学定理。 它给出前方散射振幅f(0)和总散射截面之间的关系。这一定理对非弹性散射过程也成立。2 玻恩近似 散射问题归结为解形如 （1.3.1）的方程在渐进条件 （1.3.2）下的解。由所求的解，最后求出散射振幅f和微分散射截面Q为求解如（1.3.1）式的方程，首先要求解算符的格林函数G所满足的方程 （1.3.3）如果能求出格林函数G，则可以证明 （1.3.4）满足方程（1.3.1） 因此，方程（1.3.1）的解可以表示为 （1.3.5）其中，为齐次方程的解，即V（r）=0处的解，可用入射波代替。因此，方程（1.3.5）变为李普曼施温格方程： （1.3.6）下面，先解方程（1.3.3），求解格林函数G。进行Green函数G的傅里叶变换： G （1.3.7）把式（1.3.7）代入到方程（1.3.3）中，得 （1.3.8） 因为方程（1.3.8）变为由此得到 （1.3.9）把g（）代回到方程（1.3.7）得 （1.3.10）因在q空间中，被积函数的体积元 （1.3.11） （1.3.12）把所求得的格林函数代入（1.3.5）得 （1.3.13） 方程（1.3.13）就是满足渐进条件（1.3.2）的解。但是，从方程（1.3.13）式我们看到，在被积函数里含有待求的，因此必须采用合适的渐进方法进一步求解。求解此方程的常用近似方法之一就是玻恩近似方法。当入射粒子的动量很大时，我们可以把势V(R)视为一种与时间无关的微扰项，相互作用体系的哈密顿量可写成 （1.3.14）其中，为相互作用前粒子的动能，相应的波函数为 （1.3.15） 而为微扰项。现在把被积函数中的按某一参数1的幂级数展开 （1.3.16）所谓玻恩近似就是用的零级近似值来代替，也就是说 （1.3.17）因此，在玻恩近似下，式（1.3.13）变为 （1.3.18） 下面求式（1.3.18）在r的渐进解。因为只在空间一个小区域（力程范围内）不为0，的值可以用r时的值代替：因此，取，其中，为方向的单位矢量。代表散射波的波矢量，对于弹性散射，把这些结果代入式（1.3.18） （1.3.19）式（1.3.19）和式（1.3.2）比较得 （1.3.20） 其中，为散射角。因此，式（1.3.20）可化为 把代入上式，去掉“”，得 （1.2.21）从而最后得到散射截面 （1.2.22）式（1.3.21）和式（1.3.22）分别为玻恩近似下的散射振幅和散射截面，可见随q的增大，即随着散射角的增大，Q减小，说明大部分粒子从小散射角散射。 3 例题分析3.1.一低能粒子被势阱v（r）=散射，只考了s波，用分波法求解微分散射截面。解：粒子的径向波函数满足方程 其中， 对于s波，=0，因此在ra的区域，v（r）=-，因此令，则上式变为由R（r）在r=0处的有限性要求得u（0）=0，因此，在ra区，v（r）=0，方程变为 其中，就是s波的相移，在r=a处由此得所以对低能散射，如核内中子质子散射，k0，从而可取近似在此近似下由此得到相移从而得到散射振幅微分散射截面总散射截面如果粒子被球方势垒散射，即v（r）=，则在以上结果中，把，因此如果考虑粒子被一钢球散射，这相当于 v（r）=因此 ， 即为球的表面积3.2质量为m的粒子被中心势场 散射。（a）求各分波相移（b）在条件下，求相移，散射振幅及微分截面的近似公式（c）用玻恩近似计算散射振幅及微分截面，并和（b）的结果比较解：（a）定态薛定谔方程为 令 则满足径向方程， 当=0（势场为0，粒子作自由运动）时，方程满足边界条件， 有限的解为 kr 处，渐近表示为 如今 即 则式可以写成 在原点为有限的解为 则式的渐近表示为 的渐近表示为（略去常数因子） 比较式，即得l分波的相移公式 注意，与入射能量无关。散射振幅为 显然（b）如果，可对式和作近似展开 注意，1，因此式中可取 从而得到 计算中利用了公式 微分截面 由于处，总散射截面是发散的。注意，即使条件不成立，对于足够大的l，式 仍可成立，因此处f（）和q（）的奇异性仍如和，总截面仍是发散的。发散是由角动量l很大的分波造成的，亦即来自小角度散射。这是长程力散射的固有特点。（c）按照玻恩近似，散射振幅为 和式一致，因此微分截面仍由式表示，总散射截面是发散的。2. 质量为m的粒子束被球壳势场散射， 在高能近似下，用玻恩近似计算散射振幅是发散的。解： 其中K=2ksin，为散射角。 在高能条件（ka1）下，对于一般的散射角，有ka1，上式中sin随变化而迅速振荡，其平方可按1/2,对待，因此微分截面为 0处，应取 总截面 当，即远小于q（0），因此Q之值主要来自角范围，由此可得Q 3.3.考虑一个弹性散射实验a+xa+x，其中x远重于a（不考虑两者的自旋），实验结果中总散射截面对k的依赖关系见图4，发现在k=处，总散射截面有一共振峰，此时，Q=，且共振时，从各个角度都可以观察到散射效应，除了=90之外（在这个角度散射消失）。在远离共振区时，Q是各项同性的,试问：（1）共振的角动量J是多少？（2）计算共振时，在=180方向的微分散射截面的近似值。解：（1）我们用分波法计算此题，共振与一确定的分波相联系，每个分波的角动量由相应的角量子数l确定，每个分波的角分布有勒让德多项式描述。有本题条件可知共振时除了处无散射，其余任何方向都有散射，于此可知角量子数l=1，因为只有才满足这个条件，因此叫量子数=1，角动量（2） 由分波法可知， 由于共振时，截面是各向同性的可知，这是在中只有l=0的分波存在，因此考虑共振时的总截面时，我们只考虑l=0,1两个分波，这时有式可知 导出上公式时，用到对于共振峰相应的，由上式可得，代入式，然后取模方得 4 结束语 本文阐述了计算量子散射的两种方法分波法和玻恩近似法，在一般的教材都可找到。其他方法，如数值积分法，程函近似法，推导比较复杂，且应用繁琐，所以本文就没有罗列出来，有兴趣的读者可以去中国期刊网搜索相关资料。 5 致谢本文的完成经历了好几个程序，有开题报告、初稿、二稿，在此期间我的导师吴波老师提