北师大版选修45 数学归纳法应用 学案.doc

整合提升知识 典例精讲 数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法.它可用 证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题.在高考中，用数学归纳法证明与数列、函数有关的不等式是热点问题，特别是数列中的归纳猜想证明是对观察、分析、归纳、论证能力有一定要求的，这也是它成为高考热点的主要原因.【例1】设nn*且n2，求证 1+恒成立.证明 n=2时，左边=1+=右边，原不等式成立；设n= ( 2)时原不等式成立，即1+.当n= +1时，有1+即n= +1时原不等式成立.由，可知对于任何nn*（n2）原不等式成立.【例2】设a1,a2,a3,anr且0ana1+a2+an+1-n(n2,nn*).证明 n=2时，（1-a1）(1-a2)0,a1a2a1+a2+1-(1+1)成立.设n= (n2)时原不等式成立，即a1a2a a1+a2+a +1- 成立，则a1a2a +a +1-1a1+a2+a +a +1+1-( +1)成立.要证明n= +1时原不等式成立，即a1a2a a +1a1+a2+a +1+1-( +1)成立,只需证明不等式a1a2a a +1a1a2a +a +1-1(*)成立.要证明不等式（*）成立，只需证明(a1a2a -1)(a +1-1)0.又0ai1(i=1,2，, , +1)恒成立，0a1a2a 0成立.不等式(*)也成立，即n= +1时原不等式成立.由可知对于任何nn*（n2）原不等式成立.温馨提示当“假设不等式”直接向“目标不等式”过渡有困难时，可以先找一个介于“假设不等式”和“目标不等式”之间的“中途不等式”.通过对“中途不等式”的证明，实现由“假设不等式”到“目标不等式”的平稳过渡.而这个“中途不等式”仅起到桥梁作用.本例关键是尽快由“假设不等式”得到一个右边和“目标不等式”完全一样的不等式后，由不等式的传递性寻找到要证明的“中途不等式”.【例3】求证 (n+1)(n+2)+(n+3)（n+n）=2n135(2n-1).证明 用数学归纳法.当n=1时，显然成立.根据归纳法假设，当n= 时，命题成立，即( +1)( +2)( +3)( + )=2 135(2 -1).要证明n= +1时，命题也成立，即( +2)( +3)( + )( +1+ )( +1+ +1)=2 +11352( +1)-1.要用 证明，事实上，对等式两边乘以,就凑好了等式的左边.接下 ，对2 135恒等变形，可得式右边.因此，对任意nn*，原不等式成立.【例4】已知函数y=f(x)的定义域为r，对任意不相等的实数x1,x2，都有 f(x1)-f(x2) x1-x2 ，且f(p)=p(p为常数)，又在数列an中，a1p,f(an)+an=2an+1,求证 （1）anan.思路分析 用数学归纳法证明从“n= 到n= +1”时，关键是“一凑假设，二凑结论”.证明 很明显,n=1时，a1p成立.假设n= 时，a p成立，则当n= +1时，由 f(p)-f(a ) p-a 及f(p)=p,可得 p-f(a ) p-a ,又a p,故 p-f(a ) p-a a -pp-f(a )p-a 注意到已知条件f(a )+a =2a +1,将其变形为f(a )=2a +1-a ,代入式得a +1a .这样命题(1)、（2）获证.【例5】设a,b(0,+)且=1，求证 对于任何nn*,有(a+b)n-an-bn22n-2n+1成立.证明 n=1时，原不等式显然成立；设n= 时原不等式成立，即（a+b） -a -b 22 -2 +1,则n= +1时，（a+b） +1-a +1-b +1=(a+b)(a+b) -a -b +ab +a b(a+b)(22 -2 +1)+ab +a b,由1=,可得ab4,a+b4.ab +a b2=2 +2.(a+b) +1-a +1-b +1(a+b)(22 -2 +1)+ab +a b4(22 -2 +1)+2 +2=22( +1)-2( +1)+1,即n= +1时原不等式成立.由可知对于任何nn*原不等式成立.温馨提示得到（a+b）(a+b) -a -b 是过渡成功的一半.问题化归为求关于a,b的二元函数在条件=1下的最小值问题后，若注意到原不等式“=”成立的条件为a=b=2,则容易想到上述过程.【例6】正项数列xn中，对于任何nn*，xn2xn-xn+1恒成立.求证 对于任何nn*,xn0解得0x11，原不等式成立.设n= 时原不等式成立，即0x 成立，由于x +1x -x 2恒成立.