北师大版选修45 数学归纳法应用 学案.doc

诱学导入 材料 英国天文学家、数学家哈雷从小就爱好数学和天文.哈雷对天文学的最大贡献是对彗星的研究.他在观测了大彗星之后，又对24颗彗星的轨道进行了计算，他注意到1456年、1531年、1607年及1682年彗星运行轨道的相似性.他用不完全归纳法得出了下面一个特性.即1531年-1456年=75年，1607年-1531年=76年，1682年-1607年=75年.这表明，这三次彗星出现的间隔时间几乎相同，于是哈雷猜想，过去天文学家认为这三颗不同的彗星也许是同一颗彗星.就是说，它可能先后三次经过那里.它以76年为周期绕日运转.哈雷预言这颗彗星再次出现的时刻终于到 ，1759年3月13日，这颗明亮的彗星，拖着长长的尾巴果然出现在天空之中.大家为了纪念哈雷的预言，称这颗彗星为“哈雷彗星”，哈雷受到全世界人们的尊敬. 问题 曾有些胆小的人（包括某些天文学家）认为哈雷彗星必将与地球相撞，地球的末日将到 ，有个别人甚至胆小到为避免见到惨剧，事先自杀了.地球真的会与哈雷彗星相撞吗？ 导入 数学归纳法看似极平常，蕴含的递推的思想却如奔腾河水一样扫荡整个自然数集.人类有了数学归纳法，便第一次拥有了征服无限的能力，这难道不是一种伟大的进步吗？在我们高中数学中，数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，以数列为背景的不等式证明题，因是与自然数n相关的命题，我们很容易联想到用数学归纳法证明.温故知新 用数学归纳法证明不等式与已学的哪些知识和方法是息息相关的？答 我们在前面学习证明不等式时，已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法 证明不等式，还没接触过数学归纳法.但是在数列和函数中，有大量的关于自然数的不等式，如何证明它们呢？这就是我们学习本节的目的所在.基础巩固1.用数学归纳法证明3nn3(n3,nn)第一步应验证（ ）a.n=1 b.n=2 c.n=3 d.n=4思路分析 由题意知n3，应验证n=3.答案 c2.用数学归纳法证明1+1)时，第一步即证明不等式_成立.思路分析 因为n1，所以第一步n=2.答案 1+( 1)，则当n= +1时，左端应乘上_，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_.思路分析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+)，最后一个是(1+)，共有2 -2 -1=2 -1项.答案 (1+)(1+)(1+) 2 -14.用数学归纳法证明（a.，b.是非负实数，nn）时，假设n= 命题成立之后，证明n= +1命题也成立的关键是_.思路分析 要想办法出现a +1+b +1，两边同乘以，右边也出现了要求证的() +1.答案 两边同乘以5.用数学归纳法证明，假设n= 时，不等式成立之后，证明n= +1时，应推证的目标不等式是_.思路分析 把n= 时的不等式中的 换成 +1即可.答案 综合应用6.若n为大于1的自然数，求证 思路分析 注意对数学归纳法证明不等式时放缩技巧的合理使用.解 ()当n=2时，.()假设当n= 时成立，即.则当n= +1时，.7.求证 (nn+)思路分析 用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，是考试中的重点题型之一，在n= +1的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧.解 记an=，（）当n=1时，a1=1=,而a1=2=，当n=1时，不等式a1.推测 (1+1)(1+)(1+0()当n=1时，已验证式成立.()假设n= ( 1)时式成立，即(1+1)(1+)+).则当n= +1时，(1+1)(1+)(1+)1+(1+)=.()3-()3=0,(3 +2)=.从而(1+1)(1+)(1+)(1+)，即当n= +1时，式成立.由()()知，式对任意正整数n都成立.于是，当a1时，snlogabn+1,当0a1时，snlogabn+1.回顾展望9.(江西高考) 已知数列a.n的各项都是正数，且满足 a.0=1,a.n+1=a.n(4-a.n),nn.证明 a.na.n+12,nn.思路分析 对第一问用数学归纳法证明比较简洁，但是用数学归纳法证明时，在由n= 到n= +1时的推证过程中，也有作差比较和利用单调性两种方法.证明 方法一用数学归纳法证明 （）当n=1时，an=1,a1=a0(4-a0)=，a0a12，命题正确.()假设n= 时有a -1a 2.则n= +1时,a -a +1=a -1(4-a -1)-a (4-a )=2(a -1-a )-(a -1-a )(a -1+a )=(a -1-a )(4-a -1-a ).而a -1-a 0,a -a -10.又a +1=a (4-a )=124-(a -2)22.n= +1时命题正确.由()()知，对一切nn时有anan+12.方法二用数学归纳法证明.()当n=1时，a0=1,a1=a0(4-a0)=,0a0a12.()假设n= 时有a -1a 2成立，令f(x)=x(4-x)，f(x)在0，2上单调递增，所以由假设有f(a -1)f(a )f(2),即a -1(4-a -1)a (4-a )2(4-2),也即当n= +1时a a +12成立，所以对一切nn,有a a +12.10.(辽宁高考) 已知函数f(x)=(x-1).设数列a.n满足a.1=1,a.n+1=f(a.n)，数列b.n满足b.n= a.n- ,sn=b.1+b.2+b.n(nn*).（1）用数学归纳法证明 b.n;（2）证明 sn.证明 (1)当x0时,f(x)=1+1.因为a1=1，所以an1(nn*)下面用数学归纳法证明不等式bn.（）当n=1时，b1=-1，不等式成立，（）假设当n= 时，不等